WBK方程、兩類變系數(shù)KdV方程和高維變系數(shù)KP方程的可積性質(zhì)和求解方法研究.pdf

1、過去的幾十年，非線性科學(xué)飛躍發(fā)展成一門新的學(xué)科。非線性的因素在所有的自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中都會(huì)遇到，非線性科學(xué)主要研究各種因子、各種尺度運(yùn)動(dòng)之間的非線性相互作用以及由此而產(chǎn)生的各種復(fù)雜現(xiàn)象。非線性科學(xué)成為近代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志，非線性科學(xué)研究成為自然科學(xué)各科學(xué)分支共同關(guān)心的基礎(chǔ)性研究。孤立子作為非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支，在流體力學(xué)、生物、數(shù)學(xué)、等離子體、光學(xué)、通信等自然科學(xué)領(lǐng)域里，得到了廣泛的研究和應(yīng)用，具有非常重要的意義。求得非線

2、性偏微分方程的精確解成為揭示模型物理意義的重要手段，至今，能夠求得此類方程準(zhǔn)確解析解的方法有反散射方法，Backlund變換法，Darboux變換法，Hirota直接法，Wronskian方法等等。同時(shí)，Painlevé分析方法被認(rèn)為是研究非線性偏微分方程可積性質(zhì)的有效方法，基于此法，可進(jìn)一步研究方程的Hirota雙線性形式、AssociatedBacklund變換、Lax對(duì)等可積性質(zhì)。 本文正是以非線性偏微分方程的理論為基礎(chǔ)，

3、并借助計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算研究了幾個(gè)非線性偏微分方程可積性質(zhì)和幾種重要的求解的方法，求出Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、帶微擾項(xiàng)的變系數(shù)Korteweg-deVries（KdV）方程、（2+1）維變系數(shù)KdV方程和（3+1）維變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的精確解析解并給出了相應(yīng)的意義分析。 本文章節(jié)及內(nèi)容安排如下： 第一章首先介紹孤子理論的發(fā)展史和孤子理論的研究現(xiàn)狀，接著介

4、紹了幾種種常用的研究孤立子的方法--行波法、一般形式的Backlund變換法和非線性疊加法，并且通過具體方程介紹了每種方法的操作過程。 第二章具體介紹Painlevé分析方法。它是20世紀(jì)80年代由WTC等人在常微分方程Painlevé檢測(cè)基礎(chǔ)上推廣發(fā)展起來的一種研究非線性偏微分方程可積性質(zhì)的有效方法。我們首先介紹與Painlevé分析方法相關(guān)的概念、思想和步驟，然后以WBK方程和（2+1）維變系數(shù)KdV方程為例演示Painle

5、vé分析方法的具體操作過程。 第三章具體介紹Hirota直接法和雙線性形式Backlund變換法。直接法是由Hirota發(fā)展起來的研究非線性偏微分方程精確解和孤子問題的的有效方法，用它可以構(gòu)造e指數(shù)N階多項(xiàng)式形式的Ⅳ孤子解。而Backlund變換法的優(yōu)勢(shì)在于建立了種子解和新解之間的關(guān)系，理論上可以通過不斷的迭代由種子解得到豐富的新解。本章我們介紹D算子定義和性質(zhì)，化非線性偏微分方程為雙線性形式時(shí)常用的因變量變換和截?cái)嗟腜ainl

6、evé展開法的應(yīng)用。我們通過構(gòu)造帶微擾項(xiàng)的變系數(shù)KdV方程、WBK方程和（2+1）維變系數(shù)KdV方程的雙線性形式、雙線性求解和Backlund變換介紹其應(yīng)用。 第四章研究Wronskian技術(shù)。Wronskian技術(shù)主要利用Wronskian行列式特殊的性質(zhì)給出了驗(yàn)證精確解的簡(jiǎn)單而直接的方法。我們把Wronskian技術(shù)應(yīng)用到帶微擾項(xiàng)的變系數(shù)KdV方程、（2+1）維變系數(shù)KdV方程和（3+1）維變系數(shù)KP方程，求得它們的Wron