WBK方程、兩類變系數KdV方程和高維變系數KP方程的可積性質和求解方法研究.pdf

1、過去的幾十年，非線性科學飛躍發(fā)展成一門新的學科。非線性的因素在所有的自然科學乃至社會科學中都會遇到，非線性科學主要研究各種因子、各種尺度運動之間的非線性相互作用以及由此而產生的各種復雜現象。非線性科學成為近代科學發(fā)展的一個重要標志，非線性科學研究成為自然科學各科學分支共同關心的基礎性研究。孤立子作為非線性科學的一個重要分支，在流體力學、生物、數學、等離子體、光學、通信等自然科學領域里，得到了廣泛的研究和應用，具有非常重要的意義。求得非線

2、性偏微分方程的精確解成為揭示模型物理意義的重要手段，至今，能夠求得此類方程準確解析解的方法有反散射方法，Backlund變換法，Darboux變換法，Hirota直接法，Wronskian方法等等。同時，Painlevé分析方法被認為是研究非線性偏微分方程可積性質的有效方法，基于此法，可進一步研究方程的Hirota雙線性形式、AssociatedBacklund變換、Lax對等可積性質。 本文正是以非線性偏微分方程的理論為基礎，

3、并借助計算機符號計算研究了幾個非線性偏微分方程可積性質和幾種重要的求解的方法，求出Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、帶微擾項的變系數Korteweg-deVries（KdV）方程、（2+1）維變系數KdV方程和（3+1）維變系數Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的精確解析解并給出了相應的意義分析。 本文章節(jié)及內容安排如下： 第一章首先介紹孤子理論的發(fā)展史和孤子理論的研究現狀，接著介

4、紹了幾種種常用的研究孤立子的方法--行波法、一般形式的Backlund變換法和非線性疊加法，并且通過具體方程介紹了每種方法的操作過程。 第二章具體介紹Painlevé分析方法。它是20世紀80年代由WTC等人在常微分方程Painlevé檢測基礎上推廣發(fā)展起來的一種研究非線性偏微分方程可積性質的有效方法。我們首先介紹與Painlevé分析方法相關的概念、思想和步驟，然后以WBK方程和（2+1）維變系數KdV方程為例演示Painle

5、vé分析方法的具體操作過程。 第三章具體介紹Hirota直接法和雙線性形式Backlund變換法。直接法是由Hirota發(fā)展起來的研究非線性偏微分方程精確解和孤子問題的的有效方法，用它可以構造e指數N階多項式形式的Ⅳ孤子解。而Backlund變換法的優(yōu)勢在于建立了種子解和新解之間的關系，理論上可以通過不斷的迭代由種子解得到豐富的新解。本章我們介紹D算子定義和性質，化非線性偏微分方程為雙線性形式時常用的因變量變換和截斷的Painl

6、evé展開法的應用。我們通過構造帶微擾項的變系數KdV方程、WBK方程和（2+1）維變系數KdV方程的雙線性形式、雙線性求解和Backlund變換介紹其應用。 第四章研究Wronskian技術。Wronskian技術主要利用Wronskian行列式特殊的性質給出了驗證精確解的簡單而直接的方法。我們把Wronskian技術應用到帶微擾項的變系數KdV方程、（2+1）維變系數KdV方程和（3+1）維變系數KP方程，求得它們的Wron