用一維小波探測和反演Radon變換的奇性.pdf

1、計算機層析成像的數學基礎是Radon變換，它的重要應用有醫(yī)學CT、工業(yè)CT和地球物理反演等.在實際應用中，人們關心的往往是函數圖像發(fā)生重大改變的地方，如兩種人體組織的交界處、地球物理反演兩種介質的交界面等.因為圖像的不規(guī)則的突變部分(峰變處)通常包含了其本質的信息.例如圖像亮度的不連續(xù)性表示景物中含有邊緣；在心電圖或雷達信號中，令人感興趣的信息包含在信號的峰變處.函數f(x，y)的Radon變換的反演是已知f(x，y)的Radon變換，

2、求f(x，y).有時，由于整個反演f(x，y)需要處理的數據量比較大，或者所需數據不完全時，反演f(x，y)就較困難.從文獻[5，7，20]可知，奇性反演所需的數據量不是很大，只和函數圖像發(fā)生奇性附近的投影數據有關.Radon變換的精確反演只是對光滑的函數是有效的，所以對圖像函數發(fā)生奇性的地方要特別關注，需要研究它的Radon變換的奇性傳播和奇性反演.A.G.Ramm對古典Radon變換對函數在它的支集的邊界上恒大于零，且僅在支集的邊界

3、上有跳躍奇性時給出Radon變換的奇性和函數奇性的關系.而實際應用中，奇性不一定發(fā)生在邊界.在3.1節(jié)給出了在二維空間中，一類分片光滑函數在支集內部有跳躍奇性時Radon變換的奇性和函數奇性的關系，采用了對函數作光滑延拓的方法.證明了如果直線lpω和函數f(x，y)的產生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段相切，那么函數f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果線lpω和函數f

4、(x，y)的產生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段都不相切，那么函數f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)∈C∞；反之，如果函數f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的，那么函數f(x，y)在其奇性曲線段上就是跳躍奇性的. 圖象重建問題，它的數學理論基礎是Radon變換及其逆變換，它已經獨立地出現在醫(yī)學、工程等很多科學領域，而奇異性的大小和圖像邊緣的檢測是圖象重建的重

5、要部分.長期以來，Fourier變換是研究函數奇異性的主要工具，但它缺乏空間局部性，只能確定函數奇異性的整體性質，而難以確定各奇異點的位置及分布情況.也就是說，當函數有許多奇異點時，用Fourier變換難以確定各奇異點的位置及奇性的強弱.而小波變換可以聚焦于信號的局部結構，因此小波變換可以給出函數在一個區(qū)間甚至一個點處的Lipschitz正則性.圖像的奇異性往往發(fā)生在分片光滑的奇性曲線上，對于一類分片光滑的圖像函數，我們研究用一維小波變

6、換檢測圖像的邊緣和確定函數圖像的發(fā)生奇性地方的Lipschitz指數的大小，這是本文的一個創(chuàng)新點.證明了用一維小波沿互相垂直的兩個方向對函數圖像進行邊緣檢測，也有二維小波變換檢測圖像邊緣的理論結果.函數f(x，y)在一致Lipschitz-α區(qū)間內，其關于變量y的一維小波變換|Wfx(u，s)|是與sa+1/2同級衰減的. 根據函數的Radon變換的奇性和原函數奇性之間的對偶關系，3.2節(jié)用一維小波變換檢測投影數據的奇性，即原函

7、數的Radon變換的奇性.再根據Legendre變換的對合變換性質，用Legendre變換反演原函數的奇性.Legendre變換的數值實現用的是中間插值的方法. 在應用實現部分給出了圖像重建中廣泛使用的Shcpp-Logan頭部圖像的邊緣檢測結果.分別給出了Shepp-Logan頭部圖像的π/4到3π/4角度范圍內的Radon變換的圖像，用一維小波變換檢測到的Radon變換的奇性曲線的圖像，還有最終根據Radon變換的奇性曲線反

8、演出的Shepp-Logan頭部圖像的邊緣曲線. 本文在第四章還研究了分片光滑函數在其支集內部有跳躍奇性時，沿上半圓曲線lrξRadon變換的奇性和原函數奇性的關系，如果上半圓曲線lrξ和函數f(x，y)的產生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段相切，那么函數f(x，y)的Radon變換Rf(r，ξ)在r=-r附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果上半圓曲線lrξ和函數f(x，y)的產生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意