迭代級數(shù)域及其在q-Morris和q-Dyson類常數(shù)項(xiàng)等式中的應(yīng)用.pdf

1、Morris等式在統(tǒng)計和量子物理中都有很廣泛的應(yīng)用。它等價于Selberg積分,而Selberg積分是著名的歐拉beta積分的一個n維推廣。Selberg積分被用于證明Macdonald的一些猜想和隨機(jī)矩陣中著名的Mehta-Dyson猜想。隨后興起了關(guān)于其的q-模擬研究。1988年Habsieger和Kadell分別獨(dú)立的證明了由Askey猜測的q-Morris等式。 1962年,基于粒子物理中的問題,Dyson猜測某Laur

2、ent多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為一個多項(xiàng)式系數(shù),此常數(shù)項(xiàng)恒等式被稱為Dyson猜想。這個猜想很快于當(dāng)年由Gunson和Wilson分別獨(dú)立證明。二十年后Wilson因?yàn)橛弥卣?guī)化群的方法研究臨界現(xiàn)象而獲得諾貝爾物理學(xué)獎,而證明Dyson猜想的文章是他的第一篇學(xué)術(shù)論文。1970年Good應(yīng)用Lagrange插值給出了Dyson猜想的一個優(yōu)美的遞歸證明。1982年,運(yùn)用Vandermonde行列式恒等式與多重競賽圖,Zeilberger給出了一個組合

3、證明。1975年Andrews提出了Dyson猜想的q-模擬形式。Andrews的q-Dyson猜想吸引了很多杰出的數(shù)學(xué)家,但是直到1985年才由Zeilberger和Bressoud通過組合的方法證明。最近,Gessel和Xin應(yīng)用迭代級數(shù)和多項(xiàng)式的性質(zhì)給出了一個完全不同的代數(shù)證明。在參數(shù)都相等的情形下,q-Dyson猜想就簡化為Macdonald的關(guān)于根系的類型A的常數(shù)項(xiàng)猜想。 本論文給出了關(guān)于q-Morris和q-Dyso

4、n類常數(shù)項(xiàng)等式的三個主要結(jié)果。我們的主要研究工具是Xin在他的博士論文中所建立的迭代級數(shù)域的理論。 這個理論有很多應(yīng)用領(lǐng)域,其中一個主要的應(yīng)用是用來證明常數(shù)項(xiàng)等式。本論文主要研究利用迭代級數(shù)域的工具證明q-Morris和q-Dyson類常數(shù)項(xiàng)等式。 首先,運(yùn)用Gessel和Xin證明q-Dyson猜想的方法,我們給出了q-Morris等式的一個簡潔的證明。證明的思想是將等式兩邊看作某一變元的多項(xiàng)式。要證明兩個次數(shù)為d的多

5、項(xiàng)式相等,只需證明它們在d+1個點(diǎn)上相等即可。不同于Gessel和Xin證明q-Dyson猜想的是我們需要處理重根問題。應(yīng)用多項(xiàng)式的觀點(diǎn)我們證明了沒有重根的情況。基于q-Dyson類常數(shù)項(xiàng)在參數(shù)相等情形下的有理性(即q-Morris常數(shù)項(xiàng)可以看作關(guān)于所有參數(shù)的有理函數(shù)),我們將其無重根的情況推廣到了一般情形。同時,我們還介紹了q-Morris等式與q-Selberg積分的等價性。特別地,當(dāng)q趨近于1時我們就得到了Morris等式與Sel

6、berg積分等價。 接著,我們推廣了Gessel和Xin的迭代級數(shù)的方法從而建立了一系列的q-Dyson類常數(shù)項(xiàng)等式,這些等式被稱為q-Dyson乘積項(xiàng)的第一層公式。這些公式給出了q-Dyson乘積項(xiàng)的一類系數(shù)的精確公式,包含了Sills的三個猜想為特例,并推廣了Stembridge的特殊線性群的特征的第一層公式。對于這些新的公式,基于Gessel和Xin的工作的自然推廣我們發(fā)展了一套新的方法,不僅能夠證明,而且能夠計算此類常數(shù)