關(guān)于一些幾何流的Harnack不等式的研究.pdf

1、本文主要研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式、歐式空間中完備超曲面上的依賴平均曲率的曲率流的Harnack不等式和Kahler流形上具有位能的熱方程的Harnack不等式，以及它們的一些應(yīng)用。
　　 隨著微分方程理論的成熟，幾何分析在近20年里得到了充分的發(fā)展，成為當(dāng)前幾何研究中的一個(gè)重要方向。在這方面最為重要的兩個(gè)例子是：Huisken與Ilmanen用逆平均曲率流解決了黎曼Penrose不等式[

2、28]和曹懷東與朱熹平用Ricci流工具證明了龐卡萊猜想[8]。
　　 幾何流的Harnack不等式也稱為L(zhǎng)i-Yau-Hamilton不等式，在幾何分析中起了很重要的作用。拋物方程的Harnack不等式起源于Moser在1964年的工作[33]，他研究了線性散度型方程的情形。1986年在[31]中李偉光和丘成桐用最大值原理得到流形上熱方程的Harnack不等式，這是第一次將微分方程的Harnack不等式和幾何進(jìn)行結(jié)合起來(lái)。隨后

3、，Hamilton用同樣的技巧得到了流形上一些非線性方程的Harnack不等式[19，20，22]。Chow分別于1991和1992年計(jì)算了歐式空間中超曲面上的高斯曲率流和局部共形平坦流形上的 Yamabe流的Harnack不等式[12，13]。另外，曹懷東在1992年得到緊致Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式[5]。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一類歐式空間中超曲面上幾何流的Harnack不等

4、式[1]。近幾年，這方面的研究也很多，如[7，9，10，29，30]等。本文在前人工作的基礎(chǔ)上了得到了以下一些結(jié)果：
　　 第一章研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式及其推論--Yamabe流的Nonconic估計(jì)。
　　 設(shè)(Mn，g0)是一個(gè)光滑完備的局部共形平坦的n維黎曼流形。Yamabe流由下面方程給出其中x∈Mn，t≥0，R(x，t)是度量為g(x，t)時(shí)的數(shù)量曲率。
　　

5、 Yamabe流的提出起初是為了解決Yamabe問(wèn)題。Yamabe問(wèn)題是說(shuō)給定一個(gè)緊致黎曼流形(M，g0)，則存在常數(shù)量曲率的度量g逐點(diǎn)共形于g0。Trudinger1968年指出了Yamabe本人給出的證明是錯(cuò)誤的，并訂正了當(dāng)數(shù)量曲率非正時(shí)Yamabe的證明[41]；Aubin于1976年[2]證明了流形dimM≥6非共形平坦時(shí)數(shù)量曲率為正的情形，Yamabe問(wèn)題也是成立的；Schoen在1984年[35]給出了一個(gè)完整的證明。關(guān)于Y

6、amabe流的一些工作有：Hamlilton于1988年解決了二維流形上Yamabe流的解的收斂性[81]；Chow在1992年證明了具有正Ricci曲率的緊致局部共形平坦流形在規(guī)范Yamabe流下解是長(zhǎng)時(shí)間存在的且在C∞范數(shù)下收斂于常曲率度量，同時(shí)給出了它的Harnack不等式[13]。葉如鋼在[44]中給出了Yamabe流解的整體存在性的證明。
　　 最近，Hamilton證明了Ricci流的局部Harnack不等式，并由此

7、得Ricci流的Nonconic估計(jì)。在他的報(bào)告《Curvature and Volume Bounds》[24]中使用這個(gè)估計(jì)證明了“有限距離具有有限曲率”。這是在龐卡萊猜想的證明中很重要的一步。下面是Ricci流的Nonconic估計(jì)。
　　 在第二章中，我們給出了歐式空間中完備超曲面上的依賴平均曲率的曲率流的Harnack不等式，利用這個(gè)不等式得到了一些推論，包括它的積
　　 在Ricci流中，Hamilton在[

8、23]中利用blow up的方法得到了三類奇點(diǎn)的模型，并對(duì)第Ⅰ類奇點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的分類；在[21]中證明了第Ⅱ類奇點(diǎn)是梯度Ricci孤子；曹懷東在[6]中指出了第Ⅲ類奇點(diǎn)是膨脹Ricci孤子。在平均曲率流中，Huisken也通過(guò)blow up的方法討論了奇點(diǎn)分類問(wèn)題，他在[27]中對(duì)第Ⅰ類奇點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的分類；Hamilton在[22]中證明了第Ⅱ類奇點(diǎn)是平移孤子；陳兵龍?jiān)赱11]中證明了第Ⅲ類奇點(diǎn)是擴(kuò)張?zhí)荻裙伦?。?duì)于Hk-流，盛為民和吳