關(guān)于一些幾何流的Harnack不等式的研究.pdf

1、本文主要研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式、歐式空間中完備超曲面上的依賴平均曲率的曲率流的Harnack不等式和Kahler流形上具有位能的熱方程的Harnack不等式，以及它們的一些應(yīng)用。
　　 隨著微分方程理論的成熟，幾何分析在近20年里得到了充分的發(fā)展，成為當(dāng)前幾何研究中的一個重要方向。在這方面最為重要的兩個例子是：Huisken與Ilmanen用逆平均曲率流解決了黎曼Penrose不等式[

2、28]和曹懷東與朱熹平用Ricci流工具證明了龐卡萊猜想[8]。
　　 幾何流的Harnack不等式也稱為Li-Yau-Hamilton不等式，在幾何分析中起了很重要的作用。拋物方程的Harnack不等式起源于Moser在1964年的工作[33]，他研究了線性散度型方程的情形。1986年在[31]中李偉光和丘成桐用最大值原理得到流形上熱方程的Harnack不等式，這是第一次將微分方程的Harnack不等式和幾何進(jìn)行結(jié)合起來。隨后

3、，Hamilton用同樣的技巧得到了流形上一些非線性方程的Harnack不等式[19，20，22]。Chow分別于1991和1992年計算了歐式空間中超曲面上的高斯曲率流和局部共形平坦流形上的 Yamabe流的Harnack不等式[12，13]。另外，曹懷東在1992年得到緊致Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式[5]。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一類歐式空間中超曲面上幾何流的Harnack不等

4、式[1]。近幾年，這方面的研究也很多，如[7，9，10，29，30]等。本文在前人工作的基礎(chǔ)上了得到了以下一些結(jié)果：
　　 第一章研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式及其推論--Yamabe流的Nonconic估計。
　　 設(shè)(Mn，g0)是一個光滑完備的局部共形平坦的n維黎曼流形。Yamabe流由下面方程給出其中x∈Mn，t≥0，R(x，t)是度量為g(x，t)時的數(shù)量曲率。
　　

5、 Yamabe流的提出起初是為了解決Yamabe問題。Yamabe問題是說給定一個緊致黎曼流形(M，g0)，則存在常數(shù)量曲率的度量g逐點共形于g0。Trudinger1968年指出了Yamabe本人給出的證明是錯誤的，并訂正了當(dāng)數(shù)量曲率非正時Yamabe的證明[41]；Aubin于1976年[2]證明了流形dimM≥6非共形平坦時數(shù)量曲率為正的情形，Yamabe問題也是成立的；Schoen在1984年[35]給出了一個完整的證明。關(guān)于Y

6、amabe流的一些工作有：Hamlilton于1988年解決了二維流形上Yamabe流的解的收斂性[81]；Chow在1992年證明了具有正Ricci曲率的緊致局部共形平坦流形在規(guī)范Yamabe流下解是長時間存在的且在C∞范數(shù)下收斂于常曲率度量，同時給出了它的Harnack不等式[13]。葉如鋼在[44]中給出了Yamabe流解的整體存在性的證明。
　　 最近，Hamilton證明了Ricci流的局部Harnack不等式，并由此

7、得Ricci流的Nonconic估計。在他的報告《Curvature and Volume Bounds》[24]中使用這個估計證明了“有限距離具有有限曲率”。這是在龐卡萊猜想的證明中很重要的一步。下面是Ricci流的Nonconic估計。
　　 在第二章中，我們給出了歐式空間中完備超曲面上的依賴平均曲率的曲率流的Harnack不等式，利用這個不等式得到了一些推論，包括它的積
　　 在Ricci流中，Hamilton在[

8、23]中利用blow up的方法得到了三類奇點的模型，并對第Ⅰ類奇點進(jìn)行了詳細(xì)的分類；在[21]中證明了第Ⅱ類奇點是梯度Ricci孤子；曹懷東在[6]中指出了第Ⅲ類奇點是膨脹Ricci孤子。在平均曲率流中，Huisken也通過blow up的方法討論了奇點分類問題，他在[27]中對第Ⅰ類奇點進(jìn)行了詳細(xì)的分類；Hamilton在[22]中證明了第Ⅱ類奇點是平移孤子；陳兵龍在[11]中證明了第Ⅲ類奇點是擴(kuò)張?zhí)荻裙伦印τ贖k-流，盛為民和吳