概率算子測度和相對效率以及有關(guān)不等式的一些研究.pdf

1、摘要本文討論了概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其相關(guān)領(lǐng)域的某些專題‘本文分三章，共由5篇論文組成，其中一些文章已經(jīng)公開發(fā)表或已經(jīng)被接受.第一章由一篇論文組成，主要是對概率算子測度展開一些研究.在光通信中量子信號的估值與檢測理論得到發(fā)展與應(yīng)用它有許多新的特點它的模型是以量子場為背景，因此它的檢測問題涉及到量子場的原理和方法.在Helstrov的專著中，為對一個量子系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行估量與判別，引進(jìn)了概率算子測度(POM)及一系列運算但涉及POM運算的一系列

2、問題如POM的存在性問題，關(guān)于POM的積分問題，關(guān)于兩個POM的求導(dǎo)問題，POM的弱收斂問題，在一般量子檢測理論中往往不予討論但從數(shù)學(xué)角度看這些問題確實存在羅躍虎、沈世錳等對算子測度的擴(kuò)張，積分以及兩個算子測度的題等進(jìn)行了深入討論彭家南等研究了概率算子測度的弱收斂問題RadontiikodymIm]我們對上述問題也進(jìn)行了一些探討，給出了概率算子測度弱收斂的其他的一些充要條件和充分條件推廣了算子測度的擴(kuò)張定理引進(jìn)了概率算子測度的相對緊和胎

3、緊等概念，并且證明了刻劃相對緊和胎緊二者之間關(guān)系的Prohorov定理在概率算子測度情形也成立.我們把將普通測度論的一些其他結(jié)論亦推廣到概率算子測度上去，深化了對概率算子測度的認(rèn)識.第二章主要由兩篇論文組成，主要研究了線性模型中關(guān)于相對效率的一些專題.對于GaussMarkov線性模型，我們可以得到參數(shù)Q的最佳線性無偏估計(BLUE)和最小二乘估計(LSE)反萬一般不等于莊探討二者究竟有多大偏離，這在某些應(yīng)用方面是很重要的比較萬和B的差

4、異的其中一種方式就是考慮s相對于a的相對效率.本章的第一篇論文定義了非奇異線性模型的一種新的相對效率，即cov(S`)對于cov洲的所有相對特征根之和的單位化這種新的定義方式較深刻地揭示了cov(3)與cov(助之間的聯(lián)系.這篇文章對這種新的相對效率的性質(zhì)及其和其它形式的定義之間的關(guān)系也進(jìn)行了研究與比較，得到了一系列有意義的結(jié)果.最后還給出了它的下界的兩種互相獨立的估計.本章的第二篇論文主要討論奇異線性模型的相對效率.這篇文章把劉愛義，

5、丁杰等所討論的非奇異線性模型的相對效率推廣到奇異情形一定義了奇異線性模型的兩種相對效率。2(自和。5(句，利用矩陣代數(shù)工具給出了。2(自和。5(句的三個下界估計.并且得到了一些矩陣不等式.第三章主要由兩篇論文組成，主要討論了線性模型中所涉及到的一些不等式和圖上的有關(guān)不等式本章的第一篇論文給出了Kantorovich不等式的一個新的較簡單的證明，并且給出了其推廣形式.同時在形式上也推廣了GreubRheinboldt關(guān)于Kantorovi

6、ch不等式的一個推廣文章還給出了YoungHolde:和Minkowski矩陣不等式和它們的反不等式，因此得到了不等式鏈這些不等式在線性模型以及統(tǒng)計學(xué)其它領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，本章的第二篇論文討論了圖上的一些不等式.這篇文章利用隨機分析的研究結(jié)果與方法，給出了圖上拉普拉斯算子特征值的一個估計，把一些泛函不等式推廣到圖上，并且討論了圖上Sobolev類型不等式的等價性AbstractThisthesisconsistsoffiverese

7、archpapersconcerningsomespecialfieldsofprobabilitytheoryandmathematicalstatistics.ItisdesignedintothreechaptersChapter1consistsofonepaperwhichisrelatedtoprobabilityoperatormeasure(POM)introducedbyHelstrovwhenliedoessomer

8、esearchonquantumestimationanddetectioninthefieldofopticalcommunication.SomequstionsaboutthemathmaticalbaseofPOMsuchasitsexistenceintegration.weakconvergenceandsoon.areputforwardai記answeredbysomemathematians.玩thispaperweg

9、ivesomesufficientandnecessaryconditionsfortheweakconvergenceofPOM.RealsogenerizetheextensiontheoremofPOM.EspeciallyweintroducetherelativecompactnessandtightnesstothePOM.AndweprovedtheProhorovtheoremwhichdescribestherelat

10、ionbetweenrelativecompactnessandtightnessalsoholdsinthecaseofPOMChapter2consitsoftwopaperswhicharerelatedtorelativeeficiendyinGaussMarkovlinearmodelInthefirstpaperwegiveanewdefinitionofrelativeeficiencyinlinearmodelwhich

11、revealstherelationshipbetweenCov(3)andCov(角tosomeprofoundextent.someresultsaboutitspropertyandtherelationwithotherrelativeefficiencydefinitionsareobtainedAndwealsogetthetwoindependentestimationofitslowerbound.Thesecondpa

12、pergives。:(戶)and。:(聲)thetwokindsofnewdefinitionsofrelativeefficiencyforthesingularlinearmodel.ThelowerboundsoftheserelativeeficienciesandsomernatrixinequalitiesarealsogainedbyusingtechniquesofmatricalgebraChapter3consist

13、softwopapersconcerningsomeinequlitiesinthefieldsoflinearmodelandgraph.InthefirstpaperwegiveanewandsimpleproofoftheKantorovichinequlity.OnekindofgeneralizationoftheKantorovichinequalityisalsogivenwhichinsomesensecoversthe

14、resultsobtainedbyGreubRheinboldt.ThepaperalsogivesYoungHolderandMinkowskimatrixinequalitiesandtheirinverseforms.Sothematrixinqualitychainsareobtained.Thesecondpaperbasedonsomeresultsalowerboundestimationoftheeigenvaluefo

15、randmethodsofstochasticanalysisgivesLaplacianongraphandgeneralizessomefunctionalSobolevtypeinequalitiestograph.Andwealsodiscusstheequivalenceamongtheseinequalities.Keywords:probabilityoperatormeasurerelativecompactnessti