平行平均曲率子流形的整體剛性問(wèn)題研究.pdf

1、J.Simon，H.B.Lawson，S.S.Chern，M.do.Carmo和S.Kobayashi在1968年研究單位球面中緊致極小子流形Mn的幾何剛性問(wèn)題，他們證明Sn+p(1)中滿足S≤n2-1p的緊致極小子流形必為全測(cè)地子流形，S4(1)中Veronese曲面，Sn+1(1)中Clifford超曲面之一. 文獻(xiàn)[1]，[6]，[8]，[12]等進(jìn)一步研究了上述著名結(jié)果的改進(jìn)和推廣，取得了一系列重要結(jié)果. 最近，

2、J.R.Gu和H.W.Xu研究了pinched黎曼流形中完備子流形的幾何剛性問(wèn)題，得到以下結(jié)果： 設(shè)Mn是n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維完備的平行平均曲率子流形.設(shè)KN是N的截曲率，H和S分別是M的平均曲率和第二基本形式模長(zhǎng)平方，滿足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，則存在常數(shù)τ(n，p，H)(≤0)，τ2(n，p，H)(≥0)，其中τ21(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得當(dāng)KN∈

3、[τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)]且nH2+A1(n,p)(d-c)+A2(n,p)[(n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S≤C0(n,p,H)-B2(n,p)(d-c)-B2(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4,則Nn+p整體等距于歐氏空間Rn+p且M為全臍球面Sn(1H)，S4(1H)中的Veronese曲面，Rn+1中廣義圓柱面Sn-1((n-1)/nH)×R1之一，其中常數(shù)C0(n,p,H

4、)={n2H2n-1,若n≥3或n=2且p≤2,{53nH2,若n-2且p≥3,τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)，A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)為具體給定的正常數(shù). 本文在H.W.Xu和F.Wang關(guān)于正pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的整體pinching問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上證明了下述： 主要定理.設(shè)Mn(n≥3)是n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維閉的可定向平行平均曲

5、率子流形.設(shè)KN是Nn+p的截曲率，且滿足δ1≤KN≤δ2(δ1δ2≤0)，復(fù)合等距浸入Mn→Nn+p→Rl的相對(duì)平均曲率模長(zhǎng)H滿足H≤H0.若‖S-nH2‖n2≤C(n,p,δ1,δ2,H,H0),‖S-nH2‖,nn-2≥(δ2-δ1)α(n,p)vol(M),則N整體等距于Rn+p，且M必為Rn+p中的全臍球面Sn(1H)，這里C(n，p，δ1，δ2，H，H0)為與n，p，δ1，δ2，H，H0有關(guān)具體給定的正常數(shù)，α(n，p)為僅