子流形的平均曲率流與微分球面定理.pdf

1、本文著重研究子流形的平均曲率流與微分球面定理.主要內(nèi)容包括曲率積分條件下一般黎曼流形中超曲面與高余維子流形平均曲率流的延拓性定理，曲率積分拼擠(pinching)條件下歐氏空間中超曲面平均曲率流的收斂性定理，歐氏空間中高余維平均曲率流在曲率積分拼擠條件下的收斂性定理，歐氏空間中子流形的微分球面定理，第k個(gè)Ricci曲率拼擠條件下黎曼子流形的微分球面定理．
　　 本文第二章研究了曲率積分條件下超曲面平均曲率流的可延拓性問題．197

2、8年，K.Brakke[5]首先從幾何測(cè)度論的角度研究了平均曲率流．八十年代，G.Huisken[33，34，35]系統(tǒng)研究了歐氏空間、球面和一般黎曼流形中超曲面的平均曲率流．Huisken[33]證明：若歐氏空間中超曲面的第二基本形式關(guān)于時(shí)間一致有界，則平均曲率流可以延拓．N.Se(s)um[51]運(yùn)用爆破(blow up)的方法研究了Ricci流的可延拓性問題，證明：若黎曼流形的Ricci曲率關(guān)于時(shí)間一致有界，則Ricci流可以延拓

3、.最近，B．Wang[68]給出了曲率積分條件下Ricci流的延拓性定理.我們研究了曲率積分條件下超曲面平均曲率流的延拓性問題，證明：若平均曲率關(guān)于時(shí)空的積分有限，且第二基本量有下界或初始超曲面的平均曲率有正下界，則平均曲率流關(guān)于時(shí)間可以延拓．這一結(jié)果將Huisken[33]的歐氏空間中超曲面平均曲率流可延拓的逐點(diǎn)拼擠條件拓廣為黎曼流形中超曲面平均曲率流可延拓的整體拼擠條件.
　　 第三章研究了一般黎曼流形中高余維子流形平均曲率

4、流的可延拓性問題.高余維的平均曲率流是平均曲率流研究中極為困難的情形，目前關(guān)于高余維平均曲率流的研究結(jié)果較少．M.T．Wang，K.Smoczyk，J．Y.Li，J．Y.Chen，Y.L．Xin，B．Andrews和C．Baker等人分別研究了幾類高余維的平均曲率流[2，16，63，65，70，71，72，73，80].本章將曲率積分條件下超曲面平均曲率流的可延拓性問題拓廣為一般黎曼流形中高余維平均曲率流的情形，我們證明：如果平均曲率在

5、時(shí)空上的積分有限，且子流形的第二基本形式模長與平均曲率滿足一定的關(guān)系式，那么黎曼流形中高余維平均曲率流的解關(guān)于時(shí)間可以延拓．
　　 第四章證明了曲率積分拼擠條件下歐氏空間中超曲面平均曲率流的收斂性定理．上世紀(jì)八十年代，Huisken[33]獲得了關(guān)于平均曲率流收斂性的著名定理：若歐氏空間Rn+1中平均曲率流的初始超曲面是凸的，則平均曲率流在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)圓點(diǎn)．應(yīng)用第二章給出的平均曲率流的延拓性定理，我們將逐點(diǎn)拼擠條件下超曲

6、面平均曲率流的Huisken收斂性定理推廣為歐氏空間中超曲面平均曲率流在曲率積分拼擠條件下的收斂性定理，證明：如果平均曲率流初始超曲面的無跡第二基本形式的Lp范數(shù)滿足某一拼擠條件，那么平均曲率流在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)圓點(diǎn)．
　　 第五章研究了歐氏空間中高余維平均曲率流在曲率積分拼擠條件下的收斂性問題．M.T．Wang[71]證明了圖子流形平均曲率流的收斂性定理．K.Smoczyk[63]證明了Lagrange子流形平均曲率流長時(shí)

7、間解的存在性．最近，B．Andrews和C．Baker[2]證明了逐點(diǎn)拼擠條件下歐氏空間中高余維平均曲率流的收斂性定理．作為第四章工作的進(jìn)一步深入，本章將Andrews和Baker的結(jié)果推廣為整體積分拼擠條件下的收斂性定理．對(duì)于歐氏空間中的高余維平均曲率流，我們證明：如果初始子流形的無跡第二基本形式的Lp范數(shù)滿足一定的拼擠條件，那么平均曲率流在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)圓點(diǎn)．根據(jù)這一結(jié)果，我們得到了歐氏空間中緊致子流形在曲率積分拼擠條件下的微

8、分球面定理．
　　 第六章研究了黎曼子流形的微分球面定理．球面定理是曲率與拓?fù)溲芯款I(lǐng)域的重要研究方向之一．二十世紀(jì)五十年代以來，許多著名的幾何學(xué)家在這一領(lǐng)域做出了卓越的貢獻(xiàn)[4，8，11，56，85，92，96].最近，H.W.Xu，J．R．Gu和E．T．Zhao[85，92]證明了第二基本形式拼擠條件下完備子流形的若干微分球面定理．運(yùn)用曲率估計(jì)、穩(wěn)定流消沒定理和Ricci流收斂性定理，我們證明第k個(gè)Ricci曲率拼擠條件下黎曼