柱坐標(biāo)系下時間分?jǐn)?shù)階波擴(kuò)散方程及分析.pdf

1、本論文主要研究了柱坐標(biāo)系下的時間分?jǐn)?shù)階波擴(kuò)散方程的解析解及其分析，由彼此相關(guān)而又獨(dú)立的三章組成：第一章簡要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的歷史、發(fā)展、定義和應(yīng)用，以及文中用到的特殊函數(shù)的定義、性質(zhì)和積分變換；第二章研究了柱坐標(biāo)系下軸對稱時間分?jǐn)?shù)階波擴(kuò)散方程(FDWE)的解析解和一些特殊情況的分析；第三章討論了柱坐標(biāo)系下非軸對稱FDWE的問題．
　　 第一章為預(yù)備知識，簡要介紹了本文所需要的數(shù)學(xué)工具.在§1.1節(jié)中，簡要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)

2、展歷史、基本概念及常用的分?jǐn)?shù)階算子，包括了Riemann-Liouville（簡稱R-L）型和Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分算子的定義及基本性質(zhì)．在§1.2節(jié)中，給出了兩類特殊函數(shù)即Bessel函數(shù)和Mittag-Leffler函數(shù)的定義和它們的基本性質(zhì)，以及本文中用到的兩類積分變換定義和重要公式.在§1.3節(jié)中，簡要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分在幾個領(lǐng)域內(nèi)的研究狀況和某些應(yīng)用.本章是以后各章的基礎(chǔ)．
　　 第二章中，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，

3、引入了在有界區(qū)域內(nèi)柱坐標(biāo)系下的時間分?jǐn)?shù)階軸對稱有源項波擴(kuò)散方程：
　　 不失普遍性,本文對方程引入了第三類齊次邊界條件和非齊次的初始條件．我們用積分變換的方法對方程進(jìn)行求解，對空間變量r進(jìn)行Hankel變換，對空間變量z進(jìn)行三角變換，對時間項t用分?jǐn)?shù)階Laplace變換，然后依次進(jìn)行逆變換即可得到方程的理論解：
　　 在§2.3中，我們對方程的源項和初邊條件進(jìn)行了討論.在情況I，我們在第一類齊次邊界條件下，用類似方法得到

4、了方程的解.對應(yīng)于這個方程的解，我們假定F(r,z)=F0，g(r，z，t)=g0為常數(shù)下對方程的解進(jìn)行討論，并且計算了當(dāng)α=1，α=2，α→0時方程的解，然后對結(jié)果進(jìn)行分析，作出不同α下的w(r,z，t)關(guān)于t的圖形．下面我們又對源項是δ型的瞵時源g(r，z，t)=g0δ(r-r0)δ(z-z0)δ+(t)和分離變量形式的源項g(r，z，t)=g1(r，z)tβ下對解進(jìn)行討論，作出了在不同α下解的圖形.在情況II，我們在另一類邊界條件

5、下，用類似的方法得到方程的解析解，并且對解進(jìn)行了討論，作出了關(guān)于不同α下解的圖形．最后與當(dāng)α=1時經(jīng)典的波動方程的解進(jìn)行了對比．在§2.4中，我們對結(jié)果和圖形進(jìn)行了討論和分析.
　　 第三章在第二章的基礎(chǔ)上考慮了柱坐標(biāo)系下非軸對稱的時間分?jǐn)?shù)階波擴(kuò)散方方程：
　　 對每個變最r，φ，t分別用積分變換和逆變變換的方法，我們可以得到方程(3)的解為：
　　 在§3.3，我們在特殊的初始條件和邊界條件下對方程的解進(jìn)行了討