Circle Packing與擬共形分析.pdf

1、Circle Pacing是指在給定的幾何(復(fù)平面C、雙曲圓盤D、Riemann球面p)中，一組滿足指定相切模式并且沒有公共內(nèi)部的圓盤，由W．Thurston在其三維流形的著名工作中首次引入。自從1985年他提出使用Circle Pacing方法逼近Riemann映射的猜測(cè)以來，Circle Pacing理論已經(jīng)成為復(fù)分析和離散幾何交叉學(xué)科的一個(gè)快速發(fā)展的研究領(lǐng)域。目前，Circle Pacing理論的某些方面，比如，使用Circle

2、Pacing來逼近共形映射以及單葉packing的存在性和唯一性等問題，已經(jīng)研究得比較透徹了，在應(yīng)用領(lǐng)域也已經(jīng)出現(xiàn)了使用Circle Pacing展平大腦皮質(zhì)層的研究并取得了良好的進(jìn)展。而在其它方面，則還有待于進(jìn)一步的研究。 在本文中，我們對(duì)Circle Pacing與解析函數(shù)、擬共形映射和擬正則映射之間的關(guān)系進(jìn)行研究，取得了一些結(jié)果。首先討論了使用有界度拋物復(fù)形構(gòu)造離散多項(xiàng)式的問題，證明了當(dāng)該復(fù)形滿足可一致收縮條件時(shí)，離散多項(xiàng)

3、式收斂于其所對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)多項(xiàng)式。在此基礎(chǔ)上，利用有限復(fù)形packing映射的比例函數(shù)滿足極值原理的事實(shí)，使用分析方法討論了離散多項(xiàng)式的剛性問題，并且證明了離散多項(xiàng)式的比例函數(shù)在某一分枝點(diǎn)處取得最小值。 其次，給定復(fù)平面C上有界單連通Jordan區(qū)域Ω以及定義在其邊界δΩ上的正值連續(xù)函數(shù)p，設(shè)Br是Ω×N的一個(gè)有限子集，則存在一個(gè)由Ω，p和Br所決定的解析函數(shù)。我們使用有界度Circle Packing構(gòu)造了這個(gè)解析函數(shù)的逼近序列并

4、證明了其收斂性。這是Circle Packing理論在解析函數(shù)邊值問題上的一個(gè)應(yīng)用，可以看成．Carter，B．Rodin關(guān)于Circle Packing逆問題的研究[22]以及T．Dubejko的工作[30]的進(jìn)一步推廣。再次，我們使用Circle Packing方法考察了Beltrami方程。我們以有界度Circle Packing為基礎(chǔ)構(gòu)造了擬共形映射的近似同胚解，這是Z.-X．He和G．B．William研究的推廣。進(jìn)一步，我們