分?jǐn)?shù)階微分方程線性多步法的研究.pdf

1、本文主要研究分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值處理及穩(wěn)定性的分析，分為兩個(gè)部分：第一，研究了用顯隱式分?jǐn)?shù)階后退的差分格式，考慮實(shí)驗(yàn)方程數(shù)值解的性質(zhì)及穩(wěn)定性分析；第二，討論了分?jǐn)?shù)階線性多步法相容格式的零穩(wěn)定性和收斂性，分析其可能的最大穩(wěn)定域的估計(jì)。
　　本研究主要內(nèi)容包括：第一章首先回顧了分?jǐn)?shù)階微分方程的產(chǎn)生和近幾十年來(lái)的發(fā)展，介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程線性多步法的起源及其優(yōu)越性，詳細(xì)討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義發(fā)展完善的過(guò)程。第二章重點(diǎn)討論分?jǐn)?shù)階向后差分格式

2、，并將整數(shù)階時(shí)的數(shù)值方法的有關(guān)定義推廣到分?jǐn)?shù)階的情況。分為兩個(gè)方面：首先，在滿足相容性條件下，對(duì)右端函數(shù)用兩點(diǎn)和三點(diǎn)格式進(jìn)行離散，對(duì)所得到的顯式格式應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階實(shí)驗(yàn)方程，分析其數(shù)值解的正性和單調(diào)性，從而很好的保持了其精確解Mittage-Leffler函數(shù)的性質(zhì)；利用伴隨矩陣的非負(fù)不可約性，結(jié)合Perron-Frobenius定理和笛卡爾符號(hào)準(zhǔn)則等，分析其絕對(duì)穩(wěn)定性，給出顯式線性多步方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。其次，在滿足相容性條件下，適當(dāng)約束

3、生成多項(xiàng)式的系數(shù)，對(duì)所得到的隱式格式數(shù)值解的正性和單調(diào)性進(jìn)行分析，并給出其絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間的討論。最后，通過(guò)具體的數(shù)值算例驗(yàn)證了其理論的有效性及良好的可行性。第三章分析對(duì)幾類低階分?jǐn)?shù)階線性多步法穩(wěn)定域的討論。首先，研究了分?jǐn)?shù)階線性多步法相容格式的零穩(wěn)定性和收斂性；其次引入分?jǐn)?shù)階線性多步法的穩(wěn)定多項(xiàng)式，分析其與實(shí)軸的交點(diǎn)，通過(guò)理論證明，估算出該方法絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間的最大可能長(zhǎng)度；最后，給出幾類具體的低階顯隱式分?jǐn)?shù)階線性多步法，并計(jì)算出其穩(wěn)定區(qū)間的