具有脈沖效應(yīng)的微分方程在傳染病模型方面的應(yīng)用.pdf

1、眾所周知，在傳染病動力學中，長期以來主要使用的數(shù)學模型是所謂的“倉室”(compartment)模型，其基本思想由Kermack與Mckendrick創(chuàng)立于1927年，一直到目前仍然被廣泛使用和不斷地發(fā)展著. 早期的傳染病模型大多假設(shè)種群總數(shù)為常數(shù)，這種假設(shè)僅當時間較短，環(huán)境封閉，生育率與自然死亡率能夠相互平衡，且因病死亡率不大而可以忽略不計時成立. 近年來，國際上傳染病動力學的研究發(fā)展迅速，大量的數(shù)學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題

2、，這其中，脈沖微分方程模型由于更加接近實際引起了眾多學者的廣泛關(guān)注并得到了深入的發(fā)展并大量應(yīng)用于藥物動力學，種群動力學，傳染病學等領(lǐng)域. 這是因為種群動力學和傳染病學中有許多自然現(xiàn)象和人為干預(yù)因素的作用用脈沖來描述更為精確. 本文考慮了在脈沖作用下的種群動力學模型和傳染病模型，給出了在脈沖作用下的動力學復(fù)雜性，在脈沖作用下系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性,時滯傳染病模型無病周期解的全局吸引性. 在第二章，我們研究了具有脈沖預(yù)防接種且傳染率是標

3、準型的SIR模型，馬知恩等在文獻[30]研究SIR模型并得到了無病平衡點的條件，我們在此基礎(chǔ)上，加入脈沖效應(yīng)，通過利用Floquet乘子定理，討論了無病周期解的局部漸近穩(wěn)定性，理論結(jié)果表明加大接種比例，有利于阻止傳染病的持續(xù)發(fā)展. 第三章研究的是具有垂直傳染和脈沖預(yù)防接種的時滯SIR傳染病模型，由于染病者的后代在出生時有可能被其染病的母親所感染，例如: 肝炎、肺結(jié)核等. 這被稱為垂直傳染. 最近,具有垂直傳染病模型被Michael [2

4、7]研究過. 文[38]考慮了對所有的易感者采取免疫接種，并且作出了在垂直傳染條件下關(guān)于脈沖免疫接種的一些初始工作，得到了疾病消失或趨于平衡點的條件. 但由于疾病在潛伏期間的死亡涉及到時滯現(xiàn)象，文[38]沒有考慮時滯在傳染病模型中的重要作用，于是，根據(jù)生物學觀點，我們將研究具有脈沖預(yù)防接種的時滯傳染病模型，由于時滯脈沖微分方程的穩(wěn)定性比較難討論，而對于傳染病模型，人們往往只關(guān)心染病者，易感者是否存在，染病者的絕滅與持續(xù)意味著疾病的消亡與

5、流行. 因此我們的目的是研究時滯脈沖模型的無病周期解的全局吸引性和系統(tǒng)的持久性等問題，部分推廣了文[38]的結(jié)果. 另外，在建立描述疾病傳播的傳染病模型時，疾病的傳染期，潛伏期和免疫期往往不能忽略，與不含時滯的傳染病模型相比較，含有時滯的傳染病模型能夠更好地刻畫疾病的傳播情況. 在第四章我們建立和研究了具有脈沖時滯效應(yīng)的SEIRS傳染病模型，Cooke等人研究了不含脈沖時滯模型的無病平衡點的特性，文[35]給出了模型的閥值和穩(wěn)定

6、性條件，因含有兩個時滯，故正平衡點很難討論，文章僅就SEIS和SIRS兩種特殊情況做了較詳細的討論. 王穩(wěn)地在文[36]中得到該系統(tǒng)地方病平衡點的局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的充分條件. 在本章中,我們考慮對部分易感者進行脈沖接種，我們在Cooke等人研究模型的基礎(chǔ)上增加脈沖效應(yīng)， 由于時滯和脈沖并存，使得模型研究更為復(fù)雜，通過分析，得到了系統(tǒng)無病周期解的全局吸引的充分條件，結(jié)果表明，在其它因素不變的情況下，較短的接種周期或較長的潛伏期可以使得疾