Parseval框架小波的Gibbs現象.pdf

1、最近幾年隨著小波理論及其應用的廣泛發(fā)展，對于小波的Gibbs現象也吸引了來自不同領域的研究。這是因為在某些應用領域中，特別是在信號處理和圖像處理的應用中，這一現象影響了預期的效果。研究者們?yōu)闇p弱和消除這一現象做出了非常大的努力。和Fourier相比較，小波變換因為能有效地從信號中提取信息，所以是空間和時間局部變換。為解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，我們要通過平移和伸縮等運算功能可對信號或函數進行多尺度的細化分析。小波變換

2、聯(lián)系了圖像處理、應用數學、計算機科學、物理學、信號與信息處理、地震勘探等多個學科。信號和信息處理專家認為，小波分析在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果，所以它是多分辨分析和時間—尺度分析的一種新技術。數學家認為，小波分析是泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數值分析的完美結晶，所以它是一個新的數學分支。信號分析為使信號所包含的重要信息能顯現出來

3、，需要尋找一種簡單有效的信號變換方法。在小波分析出現之前，小波分析屬于信號時頻分析的一種，傅立葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，在信號處理領域應用中也最為廣泛、效果最好。從物理意義上講，事實上，傅立葉變換是一種疊加和，通過波形分解成不同頻率的正弦波。這正是傅立葉變換重要的物理意義，這就促成了在信號分析和信號處理中，傅立葉變換的獨特地位。所謂正交基函數，就是傅立葉變換用在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波，把周期函數和非周期函數分別展成傅立

4、葉級數和傅立葉積分，對函數進行傅立葉變換的頻譜分析，會顯現出整個信號的時間頻譜特性，非常好地展示出平穩(wěn)信號的特征。在正交小波中會出現Gibbs現象，同樣也出現在半正交的Parseval框架小波中。這里首先研究的是一維情況下中A擴張矩陣的Parseval框架小波的性質，這里的A指的是行列式絕對值為2且各項取為整數的2*2階擴展矩陣。首先，給出框架小波為半正交時的充要條件，然后證明Parseval框架小波為半正交的充要條件，得到所有基于廣義

5、多分辨分析的Parseval框架小波等價于閉子空間內的Parseval框架小波的條件。同時，為更進一步準確的得到推導后的結果，用另一種方法再次證明并得到同樣的結果，這樣才會確認本篇所得的結果準確無誤。兩平移不變子空間V0U0構成Parseval框架小波，由此可知，Parseval框架小波上能夠產生Gibbs現象:尺度函數產生Gibbs現象，推出子空間產生Gibbs現象，另一子空間也用同樣方法產生Gibbs現象，最后得出兩空間構成的Par