Parseval框架小波的Gibbs現(xiàn)象.pdf

1、最近幾年隨著小波理論及其應(yīng)用的廣泛發(fā)展，對(duì)于小波的Gibbs現(xiàn)象也吸引了來自不同領(lǐng)域的研究。這是因?yàn)樵谀承?yīng)用領(lǐng)域中，特別是在信號(hào)處理和圖像處理的應(yīng)用中，這一現(xiàn)象影響了預(yù)期的效果。研究者們?yōu)闇p弱和消除這一現(xiàn)象做出了非常大的努力。和Fourier相比較，小波變換因?yàn)槟苡行У貜男盘?hào)中提取信息，所以是空間和時(shí)間局部變換。為解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，我們要通過平移和伸縮等運(yùn)算功能可對(duì)信號(hào)或函數(shù)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析。小波變換

2、聯(lián)系了圖像處理、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、信號(hào)與信息處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。信號(hào)和信息處理專家認(rèn)為，小波分析在信號(hào)分析、語(yǔ)音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果，所以它是多分辨分析和時(shí)間—尺度分析的一種新技術(shù)。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶，所以它是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支。信號(hào)分析為使信號(hào)所包含的重要信息能顯現(xiàn)出來

3、，需要尋找一種簡(jiǎn)單有效的信號(hào)變換方法。在小波分析出現(xiàn)之前，小波分析屬于信號(hào)時(shí)頻分析的一種，傅立葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，在信號(hào)處理領(lǐng)域應(yīng)用中也最為廣泛、效果最好。從物理意義上講，事實(shí)上，傅立葉變換是一種疊加和，通過波形分解成不同頻率的正弦波。這正是傅立葉變換重要的物理意義，這就促成了在信號(hào)分析和信號(hào)處理中，傅立葉變換的獨(dú)特地位。所謂正交基函數(shù)，就是傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無限伸展的正弦曲線波，把周期函數(shù)和非周期函數(shù)分別展成傅立

4、葉級(jí)數(shù)和傅立葉積分，對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換的頻譜分析，會(huì)顯現(xiàn)出整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，非常好地展示出平穩(wěn)信號(hào)的特征。在正交小波中會(huì)出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象，同樣也出現(xiàn)在半正交的Parseval框架小波中。這里首先研究的是一維情況下中A擴(kuò)張矩陣的Parseval框架小波的性質(zhì)，這里的A指的是行列式絕對(duì)值為2且各項(xiàng)取為整數(shù)的2*2階擴(kuò)展矩陣。首先，給出框架小波為半正交時(shí)的充要條件，然后證明Parseval框架小波為半正交的充要條件，得到所有基于廣義

5、多分辨分析的Parseval框架小波等價(jià)于閉子空間內(nèi)的Parseval框架小波的條件。同時(shí)，為更進(jìn)一步準(zhǔn)確的得到推導(dǎo)后的結(jié)果，用另一種方法再次證明并得到同樣的結(jié)果，這樣才會(huì)確認(rèn)本篇所得的結(jié)果準(zhǔn)確無誤。兩平移不變子空間V0U0構(gòu)成Parseval框架小波，由此可知，Parseval框架小波上能夠產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象:尺度函數(shù)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象，推出子空間產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象，另一子空間也用同樣方法產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象，最后得出兩空間構(gòu)成的Par