表自然數(shù)為一個(gè)素?cái)?shù)和六個(gè)素?cái)?shù)立方之和的小區(qū)間問(wèn)題.pdf

1、Waring-Goldbach問(wèn)題旨在研究將滿(mǎn)足必要同余條件的正整數(shù)N表為素?cái)?shù)方冪之和的可能性.著名的哥德巴赫猜想和Vinogradov的三素?cái)?shù)定理就是此類(lèi)問(wèn)題在線(xiàn)性情況下的個(gè)例.解決Waring-Goldbach問(wèn)題的一般性方法是Hardy和Littlewood的圓法結(jié)合Vinogradov素變數(shù)三角和的估計(jì).
　　 小區(qū)間上的Waring-Goldbach問(wèn)題也激發(fā)了許多數(shù)學(xué)工作者的研究熱情,在這一方面得到了許多有價(jià)值的結(jié)果

2、.其中,以幾乎相等的素變量Goldbach-Vinogradov定理最為著名.
　　 Wanng-Goldbach問(wèn)題主要分為線(xiàn)性和非線(xiàn)性?xún)煞N情況.不同于線(xiàn)性情形,用圓法來(lái)研究非線(xiàn)性情形時(shí)需要克服更大的困難.這是因?yàn)?我們?cè)趹?yīng)用圓法處理非線(xiàn)性的問(wèn)題時(shí)需要處理擴(kuò)大的主區(qū)間,而此時(shí)Siegel-Waltisz定理不再成立,從而導(dǎo)致主區(qū)間上的積分無(wú)法有效地計(jì)算.為了克服這個(gè)困難,劉建亞教授和展?jié)淌赱12]首先在廣義黎曼猜想下研究了小

3、區(qū)間上二次非線(xiàn)性情形下的Waring-Goldbach問(wèn)題,即在廣義黎曼猜想的條件下證明了:每個(gè)模24同余5的大整數(shù)N可以表示為5個(gè)幾乎相等的素?cái)?shù)的平方之和,即{N=P21+…+P23,(1)|pi-√N(yùn)/5|≤U,I=1,…,5有解,其中U=N1/2-δ+ε,δ=1/20.Bauer在文章[1]中使用Montgomery和Vaughan[18]擴(kuò)張主區(qū)間的方法無(wú)條件地證明了(1)式對(duì)于U=N1/2-δ成立,這里δ是一個(gè)小正數(shù),其具體值

4、依賴(lài)于Deuring-Heilbronn現(xiàn)象的常數(shù)值,而且難以確定.
　　 不使用廣義的黎曼猜想或者Deuring-Heilbronn現(xiàn)象處理增大了的主區(qū)間就成為了研究非線(xiàn)性的Waring-Goldbach問(wèn)題要解決的一個(gè)主要問(wèn)題.1998年,劉和展[13]找到了處理擴(kuò)大了的主區(qū)間的新方法,這種方法的引入使得可能存在的Siegel零點(diǎn)對(duì)定理不再有影響.所以,Deuring-Heilbronn現(xiàn)象可以被避免了.用這種方法,他們無(wú)條

5、件地證明了(1)式對(duì)U=N1/2-1/50+ε成立.2003年,劉建亞教授[9]在主區(qū)間的計(jì)算中引入迭代法,這個(gè)方法可以更好地處理主區(qū)間上的積分問(wèn)題,現(xiàn)在已經(jīng)被成功地運(yùn)用到許多素?cái)?shù)的加性問(wèn)題中,具有十分重要的意義.目前上述問(wèn)題指數(shù)值的最好結(jié)果為劉建亞教授、呂廣世教授和展?jié)淌赱11]給出的δ=1/20.
　　 在本文中,我們將證明定理1.對(duì)于每個(gè)充分大的整數(shù)N≡1(mod2),方程{N=P+P31+…+P36,|P-N/7|≤3

6、√(N/7)2y,|Pi-3√N(yùn)/7|≤y,I=1,…,6,對(duì)于y=N17/54+ε有解.
　　 此定理的證明是應(yīng)用圓法得到的.我們將[1/Q,1+1/Q]表示成主區(qū)間和其余區(qū)間的并.然后證明主區(qū)間上的積分產(chǎn)生主項(xiàng),而余區(qū)間上的積分只對(duì)余項(xiàng)有貢獻(xiàn).
　　 我們首先引入幾個(gè)參數(shù)P=N7/27,Q=N10/27,P*=N1/15,Q*=N8/9+ε.令主區(qū)間為M:={a=a/q+λ|1≤a≤q≤P*,(a,q)=1,|λ|≤

7、1/qQ*}.余區(qū)間為M在[1/Q,1+1/Q]中的補(bǔ)區(qū)間,并將其分解為C(M)R的并,其中C(M):={a=a/q+λ|P＜q≤Q,1≤a≤q,(a,q)=1,|λ|≤1/qQ}∩[1/Q,1+1/Q],R為M和C(M)在[1/Q,1+1/Q]中的補(bǔ)區(qū)間.所以[1/Q,1+1/Q]=M∪C(M)∪R.因此,定理1的證明可轉(zhuǎn)化為證明r(N)=∫1+1/Q T(a)S6(a)e(-Na)da=∫M+∫C(M)+∫R＞01/Q成立.這里S(

8、a)和T(a)為相應(yīng)的素變量指數(shù)和,其定義詳見(jiàn)第一章.在處理主區(qū)間M時(shí),我們將應(yīng)用[9]中的迭代法及混合均值估計(jì)Σr～Rd/rΣXmodr*∫2TT|F(1/2+it,X)|dt《{R2/dT+R/d1/2T1/2X3/10+X1/2}logcX來(lái)得出相應(yīng)的漸近公式,即命題2.設(shè)主區(qū)間M如上定義.則對(duì)任意的A＞0,∫MT(a)S6(a)e(-Na)da=1/36P0б(N)+O(y6L-A),其中P0:=∑m+m1+…+m6=N N3/

9、1≤m1＜N32,M1＜m＜M2(m1…m6)-2/3(x)y6,.奇異級(jí)數(shù)б(N)=Σ∞q=1B(N,q)/φ7(q),而且對(duì)滿(mǎn)足N≡1(mod2)的正整數(shù)N,1《б(N)《1.
　　 在處理余區(qū)間C(M)和R時(shí),[11]中關(guān)于小區(qū)間上的素變數(shù)指數(shù)和的新估計(jì)∑x-y≤p≤x+y(log p)e(pka)《(qx)ε{q1/2yΞ1/2/x1/2+q1/2x1/2Ξ1/6+y1/2x3/10+x4/5/Ξ1/6+x/q1/2Ξ1