表自然數(shù)為四個素數(shù)的平方與一個素數(shù)的κ次方之和的小區(qū)間問題.pdf

1、在加性數(shù)論中，人們經(jīng)常研究將一個正整數(shù)表示成素數(shù)冪之和的可能性。1937年Vinogradov[1]證明了任何一個充分大的奇數(shù)均可表為三個素數(shù)的和，這就是著名的三素數(shù)定理。對于非線性的情況，1938年，華在（2]中明了：任意充分大的奇整數(shù)N≡5（mod24）可以表為5個素數(shù)的平方和；任意充分大的奇整數(shù)N可以表為9個素數(shù)的立方和，對于高次和和混合次方的情形，參看文獻[3]，[4]，[5]。 另一方面，研究在適當條件限制條件下的堆壘

2、素數(shù)的問題也吸引了大量的數(shù)學工作者，在這方面的研究比較多的是將變量限制在小區(qū)間中取值，這類問題稱為小區(qū)間上的堆壘素數(shù)問題。比如，在潘（[6]，[7]，[8]）的工作基礎(chǔ)上，展[9]研究了小區(qū)間上的三素數(shù)定理，證明了每一個充分大的奇數(shù)Ⅳ都可以表示成 N=P1+P2+p3，｜pi—N/3｜≤N5/8（log N）c，其中i=1，2，3.Baker與Harman[10]利用篩法把Ⅳ的指數(shù)從5/8改進到了4/7.關(guān)于五個素數(shù)平方和定理

3、的小區(qū)間問題也有很多結(jié)果，首先，人們在廣義黎曼猜想的條件下研究這個問題。劉和展[11]，每一個充分大的模24余5的正整數(shù)N都可以表示成其中U=N9/20+ε。后來，在1998年，劉和展[12]找到一種新的方法來擴大華林—哥德巴赫問題的主區(qū)間，正是這種技巧，研究者可以忽略Siegel零的影響，更好的研究堆壘素數(shù)問題，比如：Bauer[13]利用這種技巧在五個素數(shù)平方和的小區(qū)間問題上得到了U=N1/2—19/850+ε。在2006年，Bau