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文檔簡(jiǎn)介
1、本論文考慮下述帶位勢(shì)的半線性Schr6dinger方程的柯西問(wèn)題其中N≥3,α>0,∈j∈{—1,1},1≤j≤N,i=√—1,.V(x),K(t,x)是已知的實(shí)值函數(shù),t∈R,x∈RN.φ∈Hs(RN),s∈{0,1}Hs(RN)是通常意義下的Sobolev空間.未知函數(shù)u(t,x)是關(guān)于t,x的復(fù)值函數(shù).下面在不會(huì)引起混淆的情況下,我們將u(t,x)簡(jiǎn)記為u(t).為了簡(jiǎn)便,我們令{∈j}j=1,...,N中,前N+個(gè)取+1,剩下N
2、一個(gè)取—1.其中N++N=N.
本論文分為四章.在第一章緒論中,我們大概地?cái)⑹隽薙chr(o)dinger方程的物理背景和一些相關(guān)的問(wèn)題,并簡(jiǎn)單回顧了橢圓Schr(o)dinger方程整體解的主要結(jié)果以及本論文所涉及的一些概念和符號(hào).同時(shí)敘述了本論文的主要結(jié)論.
第二章是本論文的主要部分,我們利用類似橢圓Schr(o)dinger方程的做法,首先我們對(duì)前N+和后Ⅳ一個(gè)方向分別得到Viral等式,然后利用徑向乘
3、子在高維的衰減性分別推導(dǎo)出相應(yīng)的弱色散性估計(jì).最后通過(guò)對(duì)位勢(shì)項(xiàng)V的條件加強(qiáng),由弱色散性估計(jì)得到了我們想要的Strichartz估計(jì).由于算子|▽|s和N∑j=1∈j+V(x)不可交換,所以我們不能直接將我們得到的Strichartz估計(jì)推廣至其它的Sobolev空間上。為此,在第二章的最后一部分,我們著重來(lái)解決橢圓情形下這一問(wèn)題。解決的方法是通過(guò)對(duì)位勢(shì)V的條件的進(jìn)一步加強(qiáng),使得V是算子△的一個(gè)擾動(dòng),從而推導(dǎo)出上述兩算子的可交換性。
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