線彈性問(wèn)題的Looking-free有限元.pdf

1、本論文的主要內(nèi)容是利用能量極小化原理和非協(xié)調(diào)有限元,解決各向同性近于不可壓介質(zhì)的線彈性問(wèn)題中的Locking現(xiàn)象。對(duì)于幾乎不可壓材料,當(dāng)材料的Lamé常數(shù)λ→∞時(shí),通常的低階協(xié)調(diào)有限元的解不再收斂到原問(wèn)題的解或達(dá)不到最優(yōu)收斂階,這就是彈性材料的Locking現(xiàn)象。目前已有許多有效的方法用于解決Locking問(wèn)題。這些方法按照變分原理大致可以歸結(jié)為兩類,一類是基于Hellinger-Reissner變分原理的混合有限元方法,另一類是基于能

2、量極小化原理的標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法。對(duì)于混合有限元方法,只要選擇匹配的位移和壓力有限元空間,就可以得到穩(wěn)定離散方法?；旌显ǖ囊粋€(gè)重要缺陷是要求解更多的未知函數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法不增加微分方程中未知函數(shù)的個(gè)數(shù),并且導(dǎo)出的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是正定的,這給求解帶來(lái)了很大的方便。
　　本文將采用基于能量極小化原理的有限元方法,構(gòu)造二維和三維2階收斂的Locking-free非協(xié)調(diào)元。對(duì)于平面彈性問(wèn)題,本文構(gòu)造了一個(gè)14-freedom非

3、協(xié)調(diào)三角形元和一個(gè)18-freedom非協(xié)調(diào)矩形元。分析了這兩個(gè)有限元誘導(dǎo)的插值算子和散度算子具有一定意義下的可交換性,且有限元空間中的元素在單元邊界上具有一定的積分連續(xù)性。利用這些性質(zhì)證明了這兩個(gè)非協(xié)調(diào)元對(duì)純位移邊界條件下的平面彈性問(wèn)題都是Locking-free的,且關(guān)于λ有一致地最優(yōu)收斂階,其能量模和L~2-模的誤差估計(jì)分別達(dá)到了2階和3階。給出的數(shù)值算例也驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。用非協(xié)調(diào)有限元求解應(yīng)力邊界條件的彈性方程的主要困難在

4、于單元要滿足離散的第二Korn不等式。利用Falk在[22]中的思想,本文證明了由14-freedom三角形元誘導(dǎo)的有限元空間中,第二Korn不等式的離散形式是成立的,從而證明了該單元對(duì)應(yīng)力邊界條件下的平面彈性問(wèn)題也是Locking-free的,并且能量模和L~2-模的誤差估計(jì)也分別達(dá)到了2階和3階。將平面彈性問(wèn)題中構(gòu)造單元的方法推廣到三維的情形。針對(duì)三維純位移邊界條件下的線彈性問(wèn)題,構(gòu)造了一個(gè)39-freedom四面體元和一個(gè)63-f