編碼與網(wǎng)絡(luò)編碼的一些理論問題.pdf

1、隨著信息科技的高速發(fā)展，一種穩(wěn)定而又高速的傳輸信息的手段顯得日益迫切。對于不同的信道模型，人們提出了各式各樣的編碼來接近Shannon極限。在這些編碼里面，既有較為古老而又成熟的Reed-Solomon碼，Reed-Muller碼等，也有近來比較熱門的網(wǎng)絡(luò)編碼，空時(shí)編碼等。它們對于不同的應(yīng)用環(huán)境有著自己的優(yōu)勢，并且互相都有不可替代性。本論文主要就是研究一些不同的編碼里面的一些理論問題。本論文的貢獻(xiàn)主要可以列為如下幾點(diǎn)。
　　1.網(wǎng)

2、絡(luò)編碼中的多源網(wǎng)絡(luò)。本文第2，3兩章就是研究多源網(wǎng)絡(luò)中的一些性質(zhì)。我們知道在單源網(wǎng)絡(luò)中，線性網(wǎng)絡(luò)編碼就可以達(dá)到網(wǎng)絡(luò)的容量上限。這個(gè)性質(zhì)在多源網(wǎng)絡(luò)中并不成立，除此之外，對于多源網(wǎng)絡(luò)，我們知道的很少，凡是所有已知的，幾乎都是與單源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)論不同。換句話說，研究多源網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)基本上以反例為主。我們現(xiàn)在知道的有，它的容量上限無法用Shannon不等式得到，非線性網(wǎng)絡(luò)編碼可以比線性網(wǎng)絡(luò)編碼給出更大的帶寬等。我們在第2章中通過構(gòu)造出一類具有特殊性質(zhì)

3、的網(wǎng)絡(luò)，我們證明給定任意的正整數(shù)n，存在多源網(wǎng)絡(luò)，它的容量上限不可達(dá)到如果它的有限域比n來的小。當(dāng)然它是我們構(gòu)造的這類網(wǎng)絡(luò)的副產(chǎn)品。我們把原來文[30]中提出的具有某種性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)推廣到了任意n個(gè)源節(jié)點(diǎn)的情況，并且仍然滿足這個(gè)性質(zhì)。而在第3章中，我們進(jìn)一步給出了擬陣網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造，它比原來的構(gòu)造具有更好的性質(zhì)，比如它能反映擬陣的一些性質(zhì)，并且它與與原來的擬陣吻合的相當(dāng)不錯(cuò)。
　　2.網(wǎng)絡(luò)卷積碼的安全問題。在第4章中，我們推廣了原來網(wǎng)絡(luò)編

4、碼安全問題，將原來無回路的網(wǎng)絡(luò)安全編碼推廣到有回路的網(wǎng)絡(luò)中，我們要求它仍然具有原來無回路網(wǎng)絡(luò)中相對應(yīng)的弱安全或強(qiáng)安全特性。為了滿足如上的要求，我們引入了交換代數(shù)中的不變因子定理。在它的幫助下，我們成功的證明了網(wǎng)絡(luò)編碼在有回路網(wǎng)絡(luò)中也是存在安全特性的，具體而言，如果有限域足夠大，我們不需要對原有編碼做太大改動(dòng)，在源節(jié)點(diǎn)做信息的線性組合即可。而對于有限域較小時(shí)候，我們需要重新構(gòu)造一類安全的網(wǎng)絡(luò)卷積碼。
　　3.局部可譯碼的構(gòu)造。在第5

5、章中，我們研究了最近比較熱門的局部可譯碼的構(gòu)造問題。它雖然不是一類碼率很高的編碼。但它在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和密碼里面有很多應(yīng)用。它的一個(gè)很好的特性就是對于某個(gè)比特的譯碼無需知道整個(gè)碼字的消息。一個(gè)很重要的局部可譯碼就是Reed-Muller碼。最近新出現(xiàn)的一種利用匹配向量(matching vectors)來構(gòu)造局部可譯碼的方法，它能給出一種亞指數(shù)長度的局部可譯碼，在詢問次數(shù)是常數(shù)的條件下優(yōu)于Reed-Muller碼，我們在這一章給出了一種目前最

6、優(yōu)的匹配向量。
　　4.復(fù)正交空時(shí)編碼的構(gòu)造。在第6章中，我們研究了在無線通信系統(tǒng)中有著重要應(yīng)用的正交空時(shí)分組碼。它能達(dá)到較大的分集增益和編碼增益。為了能夠達(dá)到更大的碼率和更小的延遲，我們有必要設(shè)計(jì)一類理論上最優(yōu)的復(fù)正交空時(shí)碼。它的理論上界已經(jīng)由很多學(xué)者給出。并且它們也給出了基于算法和遞歸的一些構(gòu)造，但這些構(gòu)造無顯式表示，從而也談不上優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在第6章中，我們給出了達(dá)到最大碼率和最小延遲的一類復(fù)正交空時(shí)編碼，我們的構(gòu)造完全基