中常數磁場和位勢薛定鄂算子的特征函數問題【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

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文檔簡介

1、　　（20_ _屆）　　本科畢業(yè)論文　　中常數磁場和位勢薛定鄂算子的特征函數問題　　所在學院 　　專業(yè)班級數

2、學與應用數學 　　學生姓名學號 　　指導教師職稱 　　完成日期年月 　　摘要:本文考慮3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢的

3、薛定鄂算子　　的特征函數問題。本文通過研究得到，當磁場為（1,1）時，算子的特征函數為，特征值為,其中　　，　　且　?。?lt;/b><p&g

4、t;　　當磁場為時，算子的特征函數為，特征值為。并證明所有的特征函數構成中的一組完備的正交基。　　在第一章中，我們簡要介紹了所研究問題的背景，以及研究的進展狀況。第二章，介紹一些預備知識，主要是與所討論的問題相關的Hermite函數、特殊Hermite函數的一些基本知識。第三章中證明我們的主要結論。第四章給出一個總結。　　關鍵詞：薛定鄂算子；磁場，特征函

5、數；特征值.　　The Eigen-Functions of Schrodinger Operator with Constant Magnetic Fields in 　　Abstract：In this paper, we consider the eigenvalues and eigenfunctions of Schrodinger opera

6、tors with constant magnetic fields and electric potentials, which are defined by 　　in , Euclidean space. We at first prove that when the magnetic field is of the form （1,1）, the functions are the ei

7、genfunctions of the operator corresponding to the eigenvalue ,where 　　,　　and　　.

8、;　　When the magnetic field is of the form , are the eigenfunctions corresponding to the eigenvalue . At last, we also show that all of the eigenfunctions are one of the complete orthogonal base in.

9、　　In chapter 1, we introduce the background of the problems we will study and simply describe the development in recent years to research them. In chapter 2 we present some preliminary definitions and theory, such as Her

10、mite functions, Special Hermite functions. In chapter 3, we prove the conclusions. We give a summary for our paper in chapter 4.　　Key words: Schrodinger operator; magnetic fields; eigenfunction; eige

11、nvalue.　　目錄　　1 背景1　　2 預備知識4　　2.1 Hermite 函數4　　2.2

12、特殊Hermite函數8　　3 定理及其證明13　　3.1 定理1及其證明13　　3.2 定理2及其證明15　　3.3 定理3及其證明19　　4 總結21</p&g

13、t;　　5 致謝22　　參考文獻23　　1 背景　　函數空間上的算子理論一直是泛函分析的一個重要課題，作為數學的一個部分，它經歷了相當長的研究歷程，并形成了一整套豐富的

14、理論體系。不同函數空間上的算子具有不同的特征，算子性質的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質、代數性質 (如正規(guī)性、亞正規(guī)性) 等幾個方面。基于這點，本課題考慮定義中常數磁場和位勢薛定鄂算子，研究該算子的特征函數問題。　　我們在學習波動方程的時候，給出了一維波動方程。在求解齊次一維波動方程的初邊值問題時，我們通過采用分離變量法，在求解的過程中，得到兩個微分方程和，并求解得到，和，。前者為特征

15、值，后者為滿足邊界條件，的特征函數。同樣的，在學習一維熱傳導方程的時候，也采用同樣的方法，可以將上述特征值和特征函數求解出來。同時用這種方法求解偏微分方程，在求解過程中展示了傅里葉級數的威力與作用(見文獻[1]）。　　我們已經證明了很多類算子譜結構的結論（見文獻[2]，[3]）。常數磁場的Schrodinger算子從某種意義上說是有區(qū)別的，它在中的形式為

16、;　　（1.1），　　這里是實反對稱矩陣。如果非退化，則它的特征值有的形式，且。適當地選擇坐標，則該算子為　?。?.2），　　算子(1.2)有相當特別的譜性質。譜是離散的特征值。常數磁場的Schrodinger算子與各向異性的Heisenberg群分析相關，

17、雖然Heisenberg群和不同的代數同構，它們彼此不等距，因此它們的譜性質依賴于的選擇。我們考慮Schrodinger算子的譜展開和建立Riesz–Bochner求和（與常規(guī)的差距在一個空間的參數，），為退化，則維數被認可且，這里是矩陣的秩，于是算子（1.1）有　　，　　這里是在內的拉普拉斯算子。當所有的等于1時，

18、譜展開求和的研究如特殊Hermite展開（見文獻[2],[4]），基本上使用了與Heisenberg群和旋轉不變性的聯系。（以上內容參見文獻[5]）　　Thangavelu研究了關于Hermite的展開。定義了Hermite多項式：　　，　　以及Hermite函數：</

19、p>　　，　　并由此獲得Hermite函數的一些性質。　　Hermite函數是Hermite算子，又可寫成的特征函數,即有：，且函數在中形成一個正交族，同時Hermite函數也是Fourier變換的特征函數。通過定義有，得出結論：特殊Hermite函數形成一個在內的完全正交系。</p

20、>　　又定義算子：　　，　　說明了特殊Hermite函數是在上的二階橢圓型算子的特征函數。通過簡單的計算，可以寫成形式，這里是算子，。我們有結論：Hermite算子的特征函數是，并且函數也可以用拉蓋爾多項式表示。<p

21、>　　在內給出一個函數，，依據特殊Hermite函數標準展開：　　，　　是Schwart類函數，系數因為在里，以上級數在依范數收斂到。　　同時,Thangavelu研究了Riesz平均和臨界的指標，涉及到了對算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上內容參見文獻[2]

22、）　　程其襄等在線性算子和線性泛函中，給出微分算子的定義以及微分算子的運算，對我們的計算研究有很大的幫助。(見文獻[6])　　我們的問題熟悉中常數磁場和位勢薛定鄂算子的定義，對比磁場（1,1）時的特征函數，給出算子的特征值和特征函數的描述。　　二十世紀初，法國數學家Frechet用抽象的形式表達了函數空間。指出：

23、空間中的每一點都是函數，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時，將一個函數看成是由它相應的標準正交函數系的Fourier系數確定的。1907年，德國數學家Schimidt發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據此導出了正交系的概念。之后Riesz進一步由積分方程導出的空間，開始對抽象算子理論進行研究，并引入了范數的概念。　　二十世紀20年代，Banach用三組公理建

24、立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數空間，有界可測函數空間等。1932年發(fā)表了關于函數空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。　　1929年和1930年von Neumann應用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之間的聯系。他又把有關結論推廣到無界算子，并發(fā)現了這種算子的譜理論。&l

25、t;p>　　后來，Hormander進行了對橢圓型微分算子譜函數和特征函數展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻[7]，[8]），Nicole Berline對狄拉克算子非線性單調算子進行了研究（見文獻[9]）。陳恕行研究了擬微分算子（見文獻[10]）。鐘懷杰通過對黎斯算子類的專門探討，反映一般Banach空間算子理論的特殊性（見文獻[11]）。孫炯，王忠系統(tǒng)介紹并分析了有界線性算子、共軛算子、正常算子、自共軛算子、緊算子的結構（見

26、文獻[12]）。　　在數學中，Hermite多項式是一種經典的正交多項式族。Thangavelu研究給出了Hermite函數與特殊Hermite函數以及Laguerre函數的關系，以及函數的展開及性質。并指出了Hermite函數與算子特征函數之間的關系。介紹并證明了Hermite函數與Fourier變換之間存在的關系。同時，Thangavelu證明了特殊Hermite函數的一些性質，并分析討論它

27、們展開的一些收斂性質和有界性情況。同時也介紹了Riesz平均和臨界的指標的情況(見文獻[2])。　　G. Rozenblum 和G. Tashchiyan 對常數磁場的薛定鄂算子進行了研究，得出了一些研究算子的重要的結論（見文獻[5]）。　　但是求3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢的薛定鄂算子：　　的特征值和特征函

28、數，并證明所有的特征函數成為中的一組完備的正交基的工作還沒有研究。所以本文希望通過對實變函數泛函分析，高等代數，數學分析理論和技巧（詳細參考文獻[6],[13],[14]）的應用，以及Thangavelu對Hermite函數及特殊Hermite函數的特征函數及特征值的研究，從中獲取我們所需的方法，解決以上問題。　　綜合之前的研究，很多學者深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了空間上的算子

29、理論。算子我們并不陌生，研究從線性賦范空間到另一個線性賦范空間的映照，就是算子。如果是數域，則稱這種算子為泛函。對于微分算子就是從連續(xù)可微函數空間到上的算子。如果說函數是數與數之間的一個對應，那么算子可以說是函數與函數之間的對應。由于之前的研究沒有涉及到薛定鄂算子的特征函數問題上，所以這部分工作將是全新的工作。通過學習Thangavelu關于Hermite展開的講義，了解Hermite函數的性質，以及熟悉微分算子的運算，將進行以上問題的

30、研究。　　2 預備知識　　2.1 Hermite 函數　　本章我們主要參考文獻[2]的第一章的內容。　　Hermite多項式在實數中被定義為：　?。?.1.1）

31、，　　然后我們定義Hermite函數：　　，　　首先我們有下述的Hermite多項式形成的函數恒等方程。如果<1，則我們有　?。?.1.2）．　　這個

32、很容易證明，通過泰勒展開這個函數右邊部分，且，以及利用定義（2.1.1）計算它的導數，通過生成函數（2.1.2）我們得到以下關系：　　, ，　　再根據Hermite函數，這些關系變形為：　　(2.1.3) ，<

33、p>　　和　　(2.1.4) ．　　算子和在量子力學中被稱為生成算子和零化算子。公式（2.1.3）和（2.1.4）給出了遞推關系：　?。?lt;/b>　　現在，一個簡單

34、的計算，Hermite算子可以寫成形式：　?。?.1.5），　　Hermite函數是這個算子的特征函數。事實上，由關系式（2.1.3），（2.1.4）和（2.1.5）很快給了　?。?.1.6）．

35、　它也證明了函數在中形成一個正交族。它的證明可以通過積分關系：　　，　　它是根據（2.1.6）得來的。我們想要適當地把它們正交化，于是它們將會形成一個正交族。　　引理2.1.1 對<1，我們有　?。?.1.7）

36、．　　證明：我們通過已知的公式開始　　，　　從它我們能得到公式　　，　　因此，我們有&l

37、t;/b>　　即完成了引理的證明。　　引理2.1.2　?。?lt;/b>　　證明：在公式（2.1.7）中令，我們有　　，&l

38、t;/p>　　兩邊積分，我們有　　兩邊系數相等，我們得到以上的定理。　　于是我們定義標準化的Hermite函數：　　，　　于是它們在中形成一個正交族，同時可以證明這個函

39、數是完全正交族。最后當我們估算某些由Hermite 函數定義的內核時，我們需要知道的值。這些值可以通過Mehler公式計算。生成函數（2.1.2）表明，于是是偶數，是奇數。因此，的值可以通過　　，　　計算得到。　　如果我

40、們利用展開　　，　　它跟隨　　，　　我們也需要一些Hermite函數漸近性質和估量。　　我們已經

41、明白，Hermite函數是算子的特征函數。非常有意思的是他們也是傅里葉變換的特征函數。在傅里葉變換下是不變量這個一點也不驚訝，我們利用傅里葉變換的定義有：　?。?lt;/b>　　通過這個定義，很容易發(fā)現　?。?.1.8），，<p&

42、gt;　　現在我們證明下面的結論。　　引理2.1.3 Hermite函數是傅里葉變換的特征函數。　　證明：公式（2.1.3）給了我們　　，　　兩邊取傅里葉變換，以及利用（2.1.8），我們有

43、　?。?lt;/b>　　如果我們假設這個引理中的是真的，于是它有　　因此，它足夠地說明。但是，因此很快得到。　　我們現在是在上定義Hermite函數。取多重指標和。是通過利用一維空間的Hermite函數的乘積定義的：　　，<

44、/b>　　它們在中形成一個完全標準的正交系。很多的性質來自一維空間的函數所對應的性質。例如，如果是上的Hermite算子，則　　，　　算子可以寫成形式　　，</b&g

45、t;　　其中　　，，　　從公式（2.1.3）和（2.1.4）看，有　　，，　　其中是矢

46、量坐標。　　2.2 特殊Hermite函數　　我們定義和證明特殊Hermite函數的一些重要性質。　　在上函數和我們定義它們的傅里葉--魏格納變換為　　，　　這里。由這個

47、變換，我們很容易證明下面的結論。　　命題2.2.1 若，，，屬于，則有　?。?.2.1），　　這里右邊的括號代表中的內積。　　證明：觀察是半雙線性的，因此它只須證明　?。?lt;/b&

48、gt;　　由傅里葉變換Plancherel定理，我們有　　，　　一個變量的交換證明了（2.2.1）。　　現在我們可以證明在這之前學的用表示法介紹實際上不可約的。　　定理2.2.1 對任意，表

49、示不可約的。　　證明：不失一般性，我們可以假設，如果對所有的在是不同的轉化。如果對是正交的，則　?。?lt;/b>　　它說明了，但是根據上面的命題，它說明了。因此。　　我們現在定義特殊Hermite函數在上Hermite函數的傅里葉--魏格納變換。

50、對于每一組的多重指標和，我們定義，它也可以代入形式　?。?lt;/b>　　然后我們有下面的定理　　定理2.2.2 特殊Hermite函數形成一個在內的完全正交系。　　證明：正交性根據命題2.2.1 ，為了證明完全性，假設對于所有的和。為了證明，我

51、們計算。根據定義，它有　　，　　因此。因為Hermite函數形成一個在的正交基，以上意味著。但是根據外爾基變換的Plancherel定理，我們有。　　特殊Hermite函數是在上的二階橢圓型算子的特征函數。為了定義這個算子，我們介紹下面的在上的向量場。

52、　　，　　，　　這些矢量場和的定義一起生成一個維空間的同構的海森堡代數學，該代數學在上扮演了扭曲卷積角色，類似于李代數在李氏群上的左不變矢量場。事實上，容易證明　　， , </

53、p>　　也很容易發(fā)現以下關系：　　，，　　這些相似于傅里葉變換關系：　?。?lt;/b>　　算子定義為：

54、;　?。?.2.2）．　　通過簡單的計算表明可以寫成形式　　，　　這里是算子，　?。?lt;/b>&l

55、t;p>　　我們現在證明是算子的特征函數。　　定理2.2.3：公式　?。á。?，　　（ⅱ）， 　　所以有&

56、lt;b>　?。á＃。?lt;/b>　　證明：由于函數（z）是從中來，只須考慮的情況。于是我們考慮函數　?。?lt;/b>　　考慮微分，和，我們有　　（2.2.3） <

57、b>　　我們還有　　（2.2.4） 　　比較（2.2.3）和（2.2.4），使用公式　　，　　和

58、;　　，　　我們得到　?。?.2.5），　　（2.2.6）．　　根據和分部積分，我們有　　，<

59、;/p>　　我們還有　?。?lt;/b>　　最后兩個公式給出　?。?.2.7），　?。?.2.8）．<

60、/p>　　命題中的公式（ⅰ）和（ⅱ）來自關系（2.2.5）（2.2.6）（2.2.7）和（2.2.8），（ⅲ）來自（?。?，（ⅱ）和的定義（2.2.2）。　　以上類似計算我們有也是Hermite算子的特征函數。事實上它可以證明　　，　　它證明了特殊H

61、ermite函數的名字。這個名字由Strichartz給出。下面我們說明函數也可以用拉蓋爾多項式表示。我們首先考慮函數，回憶 [2]中2.1節(jié)中的定義，當，我們簡寫成。　　定理2.2.4 　?。?lt;/b>　　證明：它足夠去考慮一維空間的情況。我們從Mehler公式開始（見式（2.1

62、.7））　　．　　如果我們利用傅里葉變換　　，　　右邊成為　　，</p&

63、gt;　　但是它和生成函數定義（見[2]中式（1.1.33））等價。　　，　　因此我們得到　?。?lt;/b>　　下一個定理開始前，我們介紹一些記法。

64、如果和是多重指標，我們定義　　，　　我們也寫成和。伴隨著這些記法，我們有下面的公式　　命題2.2.5　?。á。?，&

65、lt;b>　?。áⅲ?lt;/b>　　證明：通過定義它有，因此它足以證明（?。Ｎ覀兛梢约僭O。于是我們考慮可以寫成　?。?lt;/b>　　針對命題2.2.3 ，但是現在通過先前的命題　　，<

66、/p>　　因此計算得到　　．　　這個引出的拉蓋爾多項式滿足以下關系（見[2]中式（1.1.48））　　，　　因此

67、，我們有　　，　　它給出了　?。?lt;/b>　　現在我們用歸納法和&l

68、t;b>　　，　　完成了該證明。　　3 定理及其證明　　3.1 定理1及其證明　　定理1：記3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢的薛定鄂算子為<

69、;p>　　．　　若磁場為（1,1），則有　　，　　其中　　，．　　證明：

70、因為，，其中，　　所以算子可以寫成形式：　?。?lt;/b>　　又因為　　，　，　　故有

71、;　　所以 　　因為 　　，其中，，　　又因為 　　，，

72、　　即　　，．　　所以 　　，　　．

73、　　從而 　　所以　　這說明了在磁場為（1,1）的時候，算子的特征函數為，特征值為證畢。　　3.2 定理2及其證明　　定理2：

74、記3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢的薛定鄂算子為　　，　　則有　　,　　其中，．

75、;　　證明： 　　，　　根據Hermite函數和特殊Hermite 函數的特征函數問題，我們得到該算子的特征函數為：　　，　　其中&l

76、t;/p>　　，　　以及　　．　　我們令，，　　則有&

77、lt;/p>　　，　　且　?。?.2.1）． 　　將（3.2.1）式兩邊關于求偏微分，并令，則有　　同樣的，我們有</b&g

78、t;　　（3.2.2） 　　比較上面兩個式子，利用公式　?。╥），　　和　?。╥i）．

79、;　　則可以寫成兩種形式，分別為　?。?.2.3） 　　和　?。?.2.4）　　式（3.2.3）減去式（3.2.2）得<p&g

80、t;　　式（3.2.4）加上式（3.2.2）得　　即　?。?.2.5），　　（3.2.6）．　　因為，則我們有<

81、p>　?。?.2.7），　　同樣的，我們有　　（3.2.8）．　　利用公式（i）和（ii），（3.2.8）式可表示成兩種形式，我們有　　（3.2.9） &

82、lt;p>　　和　　（3.2.10）　　則式（3.2.7）加上式（3.2.9）得　　式（3.2.7）減去式（3.2.10）得　　即

83、　?。?.2.11）， 　?。?.2.12）． 　　由公式（3.1.5）、（3.1.6）、（3.1.11）、（3.1.12）得　　，　?。?/p>

84、　　所以　　．　　因為　　所以 　　由上述定理1的證明

85、知　　，　　從而有 　　其中，。證畢。　　定理3及其證明　　引理：稱之為Wey

86、l變換。Weyl變換將映射到上的緊算子。當在里時，是Hilbert-Schmidt算子，于是我們有Plancherel公式：　?。?lt;/b>　　定理3：定理2中所有的特征函數，構成中的一組完備的正交基。　　證明：我們證明有函數列張成的的子空間的閉包的正交補只有零元素，即是證明，如果對任

87、意的整數組，有，則有。　　事實上，記，則內積可表示為　　由假設對所有的，若固定，則對任意的，都有　?。?lt;/b>　　注意到是一組完備正交基，因此有　?。?.3.1）

88、，　　對幾乎處處的成立. 由于(3.3.1) 式對所有的和都成立，下面我們證明恒有　　，　　對幾乎處處的成立。為此，我們計算，有　　，　　(3.3

89、.1)式包含著。因為Hermite函數是上的一個完備的正交基，因此，　　由關于Weyl變換的Plancherel定理知： 　　，　　即　?。?lt;/b></p&g

90、t;　　4 總結　　根據第三部分的證明，我們知道了在3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢薛定鄂算子：　　，　　通過對比磁場為（1,1）時的特征函數，給出了算子特征值和特征函數的求解。同時利用Hermite函數和特殊He

91、rmite函數是一組完備的正交基的結論，證明了該薛定鄂算子所有的特征函數成為中的一組完備的正交基。　　通過本文的研究，讓我們對3維歐氏空間中帶常數磁場和電位勢的薛定鄂算子有了更為深刻的理解。在研究的整個過程中，通過之前已有的知識加以分析，并聯系所要研究的算子的特點，經過一步步的猜想及運算，尋求我們所需要的特征函數的形式，并確定特征函數的主要的參數。從參考文獻中，通過已證得結論的過程，從中得出解決

92、問題的方法。在計算的整個過程中，運用到了微分算子的運算，通過微分算子的運算得出定理的結論。　　本文的研究需要一定的技巧性，這種思考問題的能力是我們學習和研究數學不可或缺的。在今后的學習研究中，要滲透數學的思想，體現數學的科學價值和文化價值。　　參考文獻　　[1] 谷超豪等，數

93、學物理方程，高等教育出版社，2002.　　[2] S. Thagavelu, Lecture on Hermite Expansions, Princeton Univ. Press, Princeton 1993.　　[3] C. Sogge, Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge Uni

94、v. Press, Cambridge, 1993.　　[4] K. Stempak, J. Zienkiewicz, Twisted convolution and Riesz means, J. Anal. Math. 1998，76:93–107.　　[5] G. Rozenblum, G. Tashchiyan ,Riesz $L^p$ summ

95、ability of spectral expansions related to the Schrodinger operator with constant magnetic fields, J. Math..Anal. Appl., 2003, 284:315-331.　　[6] 程其襄等，實變函數與泛函分析基礎，高等教育出版社，1983.　　[7

96、] L. Hormander, On the Riesz means of the spectral functions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, in: Some Recent Advances in the Basic Sciences, Yeshiva University, 1966, pp. 155–202.</p&

97、gt;　　[8]L. Hormander，Linear partial differential operators ，1980.　　[9] Nicole Berline，Heat kernels and Dirac operators，2004.　　[10]陳恕行，擬微分算子，高等教育出版社，2006.

98、;　　[11]鐘懷杰，巴拿赫空間結構和算子理想，科學出版社，2005.　　[12]孫炯，王忠編著，線性算子的譜分析，科學出版社，2005.　　[13] 北京大學高等代數研究室，高等代數，高等教育出版社，1982.　　[14] 華東師范大學分析研究室，數學分析（上、下冊

99、），高等教育出版社，2001.　　文獻綜述　　中常數磁場和位勢的薛定鄂算子的特征函數問題 　　前言部分　　函數空間上的算子理論一直是泛函分析的一個重要課題，作為數學的一個部分，它經歷了

100、相當長的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系。不同函數空間上的算子具有不同的特征，算子性質的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質、代數性質(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個方面?；谶@點，本課題由定義中常數磁場和位勢的薛定鄂算子出發(fā)，解決研究過程中該算子的特征函數問題。　　我們已經證明了很多類算子關于可加性的結論（見文獻[1]，[2]）。在研究一些光譜展開的可加性算子中，常數磁場的Schrodin

101、ger算子從某種意義上說是有區(qū)別的，它在中的形式為　?。?.1） 　　這里B是實反對稱矩陣。如果B非退化，則它的特征值有的形式，且。適當地選擇坐標，則該算子為　?。?.2）　　算子

102、(1.2)有相當特別的光譜性質。該光譜展開與Schrodinger算子的結合連續(xù)和離散展開的性質相關。同時常數磁場的Schrodinger算子與Heisenberg群在各向異性的分析相關。雖然Heisenberg群和不同的代數同構，它們彼此不等距，因此它們的光譜性質依賴于的選擇。我們考慮Schrodinger算子的光譜展開和建立Riesz–Bochner可加性（與常規(guī)的差距在一個空間的參數p，β），兩者皆非退化。后者中，單維數被認可且，

103、這里是矩陣B的秩，于是算子（1.1）有　　（1.3）　　這里是在內的拉普拉斯算子。當所有的等于1時，光譜展開的可加性的研究如特殊的Hermite展開（見文獻[1],[3]）?；旧鲜褂昧伺cHeisenberg群和旋轉不變性的聯系。（以上內容參見文獻[4]）　　Thangave

104、lu研究了關于Hermite的展開。定義了Hermite多項式：　　k=0,1,2······　　以及Hermite函數：，k=0,1,2······　　并由此定義Hermite函數的一些性質。

105、　　Hermite函數是Hermite算子H=，又可寫成H=的特征函數,也是Fourier變換的特征函數。通過定義有，得出結論：特殊的Hermite函數形成一個在內的完全正交系。　　又定義算子L：，說明了特殊的Hermite函數是在上的二階橢圓形算子L的特征函數。通過簡單的計算，L可以寫成形式，這里N是算子，。我們有結論Hermite算子的特征函數

106、是。并且函數也可以用拉蓋爾多項式表示。　　在內給出一個函數f ，，依據特殊的Hermite函數標準展開f：　　，是schwart類函數，系數因為f在里，以上級數在依范數收斂到f。　　同時,Thangavelu研究了Riesz平均和臨界的指標，涉及到了對算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上內容參見文獻[1]

107、）　　程其襄等在線性算子和線性泛函中，給出微分算子的定義以及微分算子的運算。(見文獻[5])　　我們在學習波動方程的時候，給出了一維波動方程。在求解齊次一維波動方程的初邊值問題時，我們通過采用分離變量法，在求解的過程中，得到兩個微分方程和，并求解得到（k=1,2,……）和（k=1,2,……）。前者為滿足邊界條件，的特征值，后者為相應的特征函數

108、。同樣的，在學習一維熱傳導方程的時候，也采用同樣的方法，可以將上述特征值和特征函數求解出來。同時用這種方法求解偏微分方程，在求解過程中展示了傅里葉級數的威力與作用見文獻[6]）。　　我們的問題熟悉常數磁場和位勢的薛定鄂算子的定義，對比磁場（1,1）時的特征函數，給出算子的特征值和特征函數的的描述。　　主題部分<

109、/p>　　二十世紀初，法國數學家Frechet用抽象的形式表達了函數空間。指出：空間中的每一點都是函數，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時，將一個函數看成是由它相應的標準正交函數系的Fourier系數確定的。1907年，德國數學家Schimidt發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據此導出了正交系的概念。之后Riesz進一步由積分方程導出的空間，開始對抽象算子理論進行研究，

110、并引入了范數的概念。　　二十世紀20年代，Banach用三組公理建立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數空間，有界可測函數空間等。1932年發(fā)表了關于函數空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。　　1929年和1930年von Neumann應用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite

111、算子和酉算子之間的聯系。他又把有關結論推廣到無界算子，并發(fā)現了這種算子的譜理論。　　后來，Hormander進行了對橢圓型微分算子光譜函數和特征函數展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻[7]，[8]），Nicole Berline和Slaughter dele也分別對狄拉克算子非線性單調算子進行了研究（見文獻[9]，[10]）。鐘懷杰通過對黎斯算子類的專門探討，反映一般Banach空間算子理論的

112、特殊性（見文獻[11]）。孫炯，王忠系統(tǒng)介紹并分析了有界線性算子、共軛算子、正常算子、自共軛算子、緊算子的結構（見文獻[12]）。　　在數學中，Hermite多項式是一種經典的正交多項式族。Thangavelu研究給出了Hermite函數與特殊的Hermite函數以及Laguerre函數的定義，以及函數的展開及性質。并指出了Hermite函數與算子特征函數之間的關系。介紹并證明了Hermite函

113、數與Fourier變換之間存在的關系。同時，Thangavelu證明了特殊的Hermite函數的一些性質，并分析討論它們展開的一些收斂性質和有界性情況。也介紹了Riesz平均和臨界的指標的情況([1])。　　G. Rozenblum 和G. Tashchiyan 對常數磁場的薛定鄂算子進行了研究，得出了一些重要的結論（[4]）。　　但是求3維歐氏空間中帶

114、常數磁場和電位勢的薛定鄂算子：　　的特征值和特征函數，并證明所有的特征函數成為中的一組完備的正交基的工作還沒有研究。本文希望通過對實變函數泛函分析，高等代數，數學分析理論和技巧（詳細參考文獻[5],[13],[14]）的應用，以及Thangavelu對Hermite展開過程的方法的研究，解決以上問題。　　三、總結部分

115、　　綜合之前的研究，很多學者深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了空間上的算子理論。算子我們并不陌生，研究從線性賦范空間X到另一個線性賦范空間Y的映照，就是算子。如果Y是數域，則稱這種算子為泛函。對于微分算子就是從連續(xù)可微函數空間到上的算子。如果說函數是數與數之間的一個對應，那么算子可以說是函數與函數之間的對應。由于之前的研究沒有涉及到薛定鄂算子的特征函數問題上，所以這部分工作將是全新的

116、工作。通過學習Thangavelu關于Hermite展開的講義，了解Hermite函數的性質，以及熟悉微分算子的運算，將進行以上問題的研究。　　四、參考文獻　　[1] S. Thagavelu, Lecture on Hermite Expansions, Princeton Univ. Press, Princet

117、on 1993.　　[2] C. Sogge, Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.　　[3] K. Stempak, J. Zienkiewicz, Twisted convolution and Riesz means, J.

118、Anal. Math. 76 (1998) 　　[4] G. Rozenblum, G. Tashchiyan ,Riesz $L^p$ summability of spectral expansions　　related to the Schrodinger operator with constant magnetic fields, J. Mat

119、h.Anal. Appl., 2003, 284:315-331.　　[5] 程其襄等，實變函數與泛函分析基礎，高等教育出版社，1983.　　[6] 谷超豪等，數學物理方程，高等教育出版社，2002　　[7] L. Hormander, On the Riesz means of the spectral fun

120、ctions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, in: Some Recent Advances in the Basic Sciences, Yeshiva University, 1966, pp. 155–202.　　[8]L. Hormander，Linear partial differe

121、ntial operators ，1980　　[9] Nicole Berline，Heat kernels and Dirac operators，2004 　　[10]Slaughter dele，Nolinear Functional Analysis and It's Application Vol 2/B Nonli

122、near Monotone operators， 2009　　[11]鐘懷杰，巴拿赫空間結構和算子理想，科學出版社，2005　　[12]孫炯，王忠編著，線性算子的譜分析，科學出版社，2005　　[13] 北京大學高等代數研究室，高等代數，高等教育出版社，1982&l

123、t;p>　　[14] 華東師范大學分析研究室，數學分析（上、下冊），高等教育出版社，2001　　開題報告　　中常數磁場和位勢的薛定鄂算子的特征函數問題 　　一、選題的背景、意義　　函數空間上的算子

124、理論一直是泛函分析的一個重要課題，作為數學的一個部分，它經歷了相當長的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系。不同函數空間上的算子具有不同的特征，算子性質的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質、代數性質(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個方面?；谶@點，本課題由定義中常數磁場和位勢的薛定鄂算子出發(fā)，解決研究過程中該算子的特征函數問題。　　我們已經證明了很多類算子關于可加性的結論（見文獻[1]，[2]）

125、。以及光譜展開的可加性的研究如特殊的Hermite展開（見文獻[1],[3]）。采用分離變量法求解一維波動方程和一維熱傳導方程（見文獻[6]）。　　二十世紀初，法國數學家Frechet用抽象的形式表達了函數空間。指出：空間中的每一點都是函數，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時，將一個函數看成是由它相應的標準正交函數系的Fourier系數確定的。1907年，德國數學家Schimidt

126、發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據此導出了正交系的概念。之后Riesz進一步由積分方程導出的空間，開始對抽象算子理論進行研究，并引入了范數的概念。　　二十世紀20年代，Banach用三組公理建立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數空間，有界可測函數空間等。1932年發(fā)表了關于函數空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。</p

127、>　　1929年和1930年von Neumann應用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之間的聯系。他又把有關結論推廣到無界算子，并發(fā)現了這種算子的譜理論。　　后來，Hormander進行了對橢圓型微分算子光譜函數和特征函數展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻[7]，[8]），Nicole Berline對狄拉克算子非線

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中常數磁場和位勢薛定鄂算子的特征函數問題【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

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