隱函數(shù)的理論與應(yīng)用[畢業(yè)論文+開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　隱函數(shù)的理論與應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：通常我們遇到的函數(shù)都是因變量

3、用自變量的一個(gè)解析式表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過(guò)一個(gè)（或多個(gè)）方程或來(lái)確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).</p><p>　　本文首先給出隱函數(shù)，隱函數(shù)組的定義、定理、定理的推廣，接下來(lái)敘述了隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，如顯化法，公式法和參數(shù)法等．然后敘述了隱函數(shù)極值定理，再通過(guò)利用隱函數(shù)極值定理求隱函數(shù)的極值，最后介紹了

4、隱函數(shù)的應(yīng)用.</p><p>　　關(guān)鍵詞：隱函數(shù)；隱函數(shù)組；導(dǎo)數(shù)；極值；曲線；曲面</p><p>　　The Theory and Application of the Implicit Functions</p><p>　　Abstract：Usually, functions we met are expressed by independent vari

5、able’s analytic expression, Such as ，., this form of explicit function is just called the Implicit Function. However, in many parctical problems, the functional relationship between variables is often not explicitly expr

6、essed in using, but through one (or more) equations or to determine, Then we call the function defined by or implicit functions.</p><p>　　This paper gives the definitions of implicit function and implici

7、t function group, theorems, theorem’s popularize, then describe methods to the implicit function derivation, such as Explicitation, formula method , parametric method and so on. Then describe the extreme value theorem of

8、 implicit function, and through extreme value theorem of the implicit function solving extreme value of the implicit function, finally introduce the application of implicit function.</p><p>　　Key words: Impl

9、icit function; Implicit function group; derivative; extremum; </p><p>　　Curved line;Curved face</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 隱函數(shù)的基本概念1</p><p>　　1.1 隱函數(shù)的

10、定義1</p><p>　　1.2 隱函數(shù)的定理1</p><p>　　1.3 隱函數(shù)存在定理的推廣3</p><p>　　2 隱函數(shù)組的基本概念10</p><p>　　2.1 隱函數(shù)組的定義10</p><p>　　2.2 隱函數(shù)組的定理10</p><p>　　3 隱函數(shù)的求導(dǎo)

11、14</p><p>　　3.1 偏導(dǎo)數(shù)的基本概念14</p><p>　　3.2 隱函數(shù)求導(dǎo)的方法15</p><p>　　4 隱函數(shù)的極值19</p><p>　　4.1 隱函數(shù)極值定理19</p><p>　　4.2 隱函數(shù)的極值求法21</p><p>　　5 隱函數(shù)的應(yīng)用

12、25</p><p>　　5.1 幾何中的應(yīng)用25</p><p>　　5.2 經(jīng)濟(jì)方面中的應(yīng)用26</p><p><b>　　6 小結(jié)30</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)31</b></p>

13、<p><b>　　隱函數(shù)的基本概念</b></p><p>　　通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個(gè)解析式（或分段函數(shù)用不同的解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過(guò)一個(gè)（或多個(gè)）方程或來(lái)確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù)[1].</p><p>　　我

14、們首先介紹一下隱函數(shù)的定義．</p><p><b>　　隱函數(shù)的定義</b></p><p>　　定義1.1[2]：設(shè),，函數(shù):.對(duì)于方程</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　若存在集合與，使得對(duì)于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1-1），則稱由方程（1-1

15、）確定一個(gè)定義在上，值域含于的隱函數(shù).</p><p><b>　　隱函數(shù)的定理</b></p><p>　　最簡(jiǎn)單形式的隱函數(shù)定理處理如下形式的方程：</p><p>　　. （1-2）</p><p>　　問(wèn)題是要決定該方程能否把確定為的函數(shù).如果能，則對(duì)于某個(gè)函數(shù)有

16、</p><p><b>　　，</b></p><p>　　我們就說(shuō)被（1-2）式“隱含地”確定[3].</p><p>　　隱函數(shù)存在惟一性定理[2]</p><p><b>　　若滿足下列條件：</b></p><p>　?。╥）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；<

17、/p><p>　?。╥i）（通常稱為初始條件）；</p><p>　?。╥ii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；</p><p><b>　?。╥v），</b></p><p>　　則在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得</p><p><b>　　① 時(shí)且；<

18、;/b></p><p><b>　　② 在內(nèi)連續(xù).</b></p><p>　　證：先證隱函數(shù)的存在性與惟一性.</p><p>　　由條件（iv），不妨設(shè)（若，則可討論）.由條件（iii）在內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在點(diǎn)的某一閉的方領(lǐng)域，使得在其上每一點(diǎn)處都有.因而，對(duì)每個(gè)固定的，作為的一元函數(shù)，必定在上嚴(yán)格增且連續(xù).由初始條

19、件（ii）可知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　再由的連續(xù)性條件（i），又可知道與在上也是連續(xù)的.因此由保號(hào)性存在，當(dāng)時(shí)恒有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　如圖所示,在矩形的邊上取負(fù)值，在邊上取正值.因此對(duì)內(nèi)每個(gè)固定值，同樣有，.根據(jù)前已指出

20、的在上嚴(yán)格增且連續(xù)，由介值性保證存在惟一的，使得滿足.由在中任意性，這就確定了一個(gè)隱函數(shù)，它的定義域?yàn)?，值域含?若記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則滿足結(jié)論①的各項(xiàng)要求.</p><p><b>　　再證明的連續(xù)性.</b></p><p>　　對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)，則由

21、上述結(jié)論可知.任給，且設(shè)，使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從而，.由保號(hào)性存在的某領(lǐng)域</p><p>　　，使得當(dāng)屬于該領(lǐng)域時(shí)同樣有</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　因此存在惟一的，使得.由于的惟一性，推知.這

22、就證得：當(dāng)時(shí)，即在連續(xù).由的任意性，證得在內(nèi)處處連續(xù).</p><p>　　隱函數(shù)存在定理的推廣</p><p>　　下面介紹的是利用推廣了的中值定理證明了一個(gè)推廣了的隱函數(shù)存在定理[4].</p><p>　　設(shè)為任意連續(xù)函數(shù)，按通常的方法定義導(dǎo)數(shù)，</p><p><b>　　，</b></p><

23、;p><b>　　，</b></p><p>　　顯然，如果允許取值，以上四個(gè)導(dǎo)數(shù)都是有意義的.為方便起見，我們還記</p><p><b>　　注意：一般未必有.</b></p><p>　　下面我們給出推廣了的中值定理：</p><p>　　命題1：如果為上的連續(xù)函數(shù)，那么必存在，使<

24、;/p><p>　　利用上面的命題1，我們可以得到下面推廣了的隱函數(shù)存在定理.</p><p>　　定理1[4] 設(shè)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，滿足</p><p><b>　　1）</b></p><p>　　2）存在正數(shù)及，使以下（）、（）兩條件至少有一個(gè)成立</p><p><b>　　（）

25、 </b></p><p><b>　?。ǎ?</b></p><p>　　這里等是關(guān)于的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　那么存在上的連續(xù)函數(shù)，使.</p><p>　　證：不妨假定（）滿足（如條件成立，可類似證明），考慮連續(xù)函數(shù)空間</p><p>　?。ㄆ渲蟹稊?shù)）上的連續(xù)映射：&l

26、t;/p><p>　　其中是一個(gè)待定的常數(shù).如果我們能選定一個(gè)正數(shù)，使</p><p><b>　?。ㄆ渲校?lt;/b></p><p>　　為一個(gè)壓縮算子，即有正數(shù)，使，那么由壓縮映象原理，存在唯一的，使</p><p><b>　　即 或</b></p><p>　　由于

27、，還有，從而定理證畢.</p><p>　　接下來(lái)介紹的是以泛函中的不動(dòng)點(diǎn)定理為工具，推廣隱函數(shù)存在定理.</p><p>　　定理2[5] 函數(shù)是帶域上的有界函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足，在上可測(cè)，則存在，使得.</p><p>　　引理1 設(shè)是上的函數(shù)，在上連續(xù)，在上可測(cè)，則當(dāng)在上可測(cè)時(shí)，在上可測(cè).</p><p><b>　

28、　證明：在中引入距離</b></p><p>　　則是空間，從引理1可知，若，則為上的有界可測(cè)函數(shù)，所以.令</p><p><b>　　易證.又從</b></p><p>　　（其中是與之間的一個(gè)函數(shù)）知</p><p>　　故是壓縮的，再根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理有，使，即</p><p>　

29、　從而有，故定理成立.</p><p>　　下面介紹的定理是對(duì)隱函數(shù)定理的進(jìn)一步改進(jìn)，使它的適應(yīng)范圍有所擴(kuò)大.</p><p>　　定理3[6] 若函數(shù)滿足下列條件:</p><p>　?。?）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；</p><p><b>　　（2）；</b></p><p>　　（

30、3）在內(nèi)存在關(guān)于的直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;</p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi),方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù)),使得</p><p><b>　　（1）時(shí)且；</b></p><p><b>　　（2）在內(nèi)連續(xù)

31、;</b></p><p>　　注:當(dāng)為奇數(shù)時(shí),無(wú)法判斷隱函數(shù)的存在性,也無(wú)法判斷惟一性.</p><p>　　證明： 由條件（4），不妨設(shè)（若，則可討論），再由條件（3）,函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性, 存在點(diǎn)的某一閉的方形領(lǐng)域，使得在其上每一點(diǎn)處都有.因而, 對(duì)于每個(gè)固定的，作為的一元函數(shù), 必定在上嚴(yán)格遞增且連續(xù).由條件（3），知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.從而可知在上嚴(yán)

32、格減少, 在上嚴(yán)格增加, 而，所以有，.如此繼續(xù)下去, 經(jīng)過(guò)次步驟可知, 的符號(hào)是，其中，；而，當(dāng)， （） （1）</p><p>　　當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由（1）可知，，其中</p><p><b>　　， （2）</b></p><p>　　所以有，；，，特別地，有</p><p><b>　　， （

33、3）</b></p><p>　　下面考慮兩個(gè)一元函數(shù)，，，這兩個(gè)函數(shù)都在處連續(xù), 由式（2）知存在，當(dāng)時(shí)恒有</p><p><b>　　， （4）</b></p><p>　　又由式(1) 知對(duì)內(nèi)的每個(gè)固定值，有，，從而知一元函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增且連續(xù). 由式(3)知與，故根據(jù)連續(xù)函數(shù)的價(jià)值定理性和嚴(yán)格遞增性知, 存在惟一的

34、，使得.由在中的任意性, 這就確定了一個(gè)隱函數(shù)，它的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋粲?lt;/p><p>　　則滿足結(jié)論的各項(xiàng)要求.的連續(xù)性的證明同理可證.</p><p>　　將定理3推廣到一般多元函數(shù)的情形.</p><p><b>　　定理4:</b></p><p>　?。?）若函數(shù)在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域上連續(xù)；</p>

35、;<p><b>　?。?）；</b></p><p>　?。?）偏導(dǎo)數(shù)，及關(guān)于的直到階偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存且連續(xù), 且，，，其中；</p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　則當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi), 方程，惟一地確定了一個(gè)( 隱) 函數(shù)，使得，且在內(nèi)連續(xù).</p>&l

36、t;p>　　注: 當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 無(wú)法判斷隱函數(shù)的存在性, 也無(wú)法判斷惟一性.</p><p>　　定理4的證明和定理3的證明類似.</p><p>　　我們利用上面兩個(gè)定理解決以下問(wèn)題.</p><p>　　例1：考察在附近是否確定隱函數(shù)（為正整數(shù)）</p><p>　　解：顯然在附近連續(xù),，又，，，，.故由定理3 知當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在附近

37、確定(惟一)隱函數(shù).</p><p>　　例2：驗(yàn)證在附近確定(惟一)隱函數(shù).</p><p>　　解：顯然在附近連續(xù),且，又因?yàn)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b>&l

38、t;/p><p>　　由定理4知, 在附近確定了( 惟一) 隱函數(shù).</p><p><b>　　隱函數(shù)組的基本概念</b></p><p><b>　　隱函數(shù)組的定義</b></p><p>　　定義[7]：設(shè)和為定義在區(qū)域上的兩個(gè)三元函數(shù).若存在區(qū)間,對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn),分別有區(qū)間和上唯一的一對(duì)值,,

39、它們與一起滿足方程組</p><p><b>　　（2-1）；</b></p><p>　　則說(shuō)方程組(2-1)確定了兩個(gè)定義在區(qū)間上,值域分別落在和內(nèi)的函數(shù).我們稱這兩個(gè)函數(shù)為由方程組(2-1)所確定的隱函數(shù)組,若分別記這兩個(gè)函數(shù)為,,則在區(qū)間上成立恒等式和.</p><p><b>　　隱函數(shù)組的定理</b></

40、p><p><b>　　隱函數(shù)組定理[8]</b></p><p>　　設(shè)方程組 （2-2），</p><p>　　若（2-2）中的與滿足：</p><p><b>　　（i）在上連續(xù)，；</b></p><p><b>　?。╥i）；</b><

41、/p><p>　?。╥ii）在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；</p><p><b>　?。╥v），</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　、使，，即有，，滿足及，；</p><p><b>　　、在內(nèi)連續(xù)；</b></p>

42、<p>　　、在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　引理2 設(shè)，</b></p><p><b>　　若方程中的函數(shù)滿足</b></p><p><b>　　i）；</b>&l

43、t;/p><p><b>　　ii）及在內(nèi)連續(xù)；</b></p><p><b>　　iii），</b></p><p>　　則在某內(nèi)，方程唯一地確定一個(gè)連續(xù)可微隱函數(shù)且，.</p><p>　　證明：1）由及高等代數(shù)知識(shí)可知與不全為零.不妨設(shè)，則由定理的條件（i）-（iii）及引理知：（1）中方程唯一

44、地確定一個(gè)連續(xù)可微隱函數(shù)且，，.</p><p>　　2）將代入（2-2）的第二個(gè)方程得.</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　?、?；</b></p><p><b>　?、?，，為連續(xù)函數(shù)；</b></p><p><

45、;b>　?、塾煽傻?</b></p><p>　　事實(shí)上，若，則當(dāng)時(shí)，有，</p><p><b>　　從而矛盾；</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，顯然有與，矛盾.因此，.</p><p>　　由引理2知方程唯一地確定一個(gè)連續(xù)可微隱函數(shù)且</p><p><b>　　

46、，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　將代入可得，且</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　若假設(shè)，則用與上

47、面完全相同的方法可以求得隱函數(shù)組的四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù).至此，定理的所有結(jié)論均獲得了證明.</p><p><b>　　例1 討論方程組</b></p><p>　　在點(diǎn)近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組，并求其偏導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解 ：i）、在上連續(xù)，；</p><p><b>　　ii）；</b>&

48、lt;/p><p>　　iii），，，；，，，在上連續(xù)；</p><p><b>　　iv），</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p&

49、gt;<p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　根據(jù)隱函數(shù)組定理，已知方程組能確定以下形式的隱函數(shù)組：</p><p><b>　　，，，，.</b></p><p>　　以下求第一個(gè)隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)，在已知方程兩邊分別對(duì)、求偏導(dǎo)數(shù)得：</p><p><b>　　

50、、，</b></p><p><b>　　、.</b></p><p>　　其它隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)可類似求得.</p><p><b>　　隱函數(shù)的求導(dǎo)</b></p><p><b>　　偏導(dǎo)數(shù)的基本概念</b></p><p>　　定義[9

51、] 設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，是的內(nèi)點(diǎn).若（常數(shù)），一元函數(shù)在可導(dǎo)，即極限</p><p>　　存在，則稱此極限是函數(shù)在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或，.</p><p>　　類似地，若（常數(shù)），一元函數(shù)在可導(dǎo)，即極限</p><p>　　存在，則稱此極限是函數(shù)在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或，.</p><p>　　若二元函數(shù)在區(qū)域的任意點(diǎn)都存在關(guān)于（關(guān)于

52、）的偏導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)域存在關(guān)于（關(guān)于）的偏導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)，記為</p><p><b>　　或（或）.</b></p><p>　　一般情況，元實(shí)值函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)定義為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此可見，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是多元函數(shù)分別關(guān)于每一個(gè)自

53、變量的導(dǎo)數(shù).因此，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式進(jìn)行.</p><p><b>　　隱函數(shù)求導(dǎo)的方法</b></p><p><b>　　1．顯化法[10]</b></p><p>　　把隱函數(shù)化為顯函數(shù)后，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此種方法常用于較容易化為顯函數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)，但是此

54、種方法由于受有些隱函數(shù)不能或較難化為顯函數(shù)限制，而不是很常用.</p><p>　　例1：方程確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：原方程化為，所以.</p><p>　　但是，不是所有的隱函數(shù)都能化為顯函數(shù)，例如：方程：就不能用顯化法.</p><p><b>　　2．公式法[10]</b></p

55、><p>　　利用公式：來(lái)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.這種方法要求先把確定隱函數(shù)的方程寫成的形式，再對(duì)的兩邊同時(shí)分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，然后再利用該公式求出.而且在對(duì)的兩邊同時(shí)分別求導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要先后把看作常數(shù)(其實(shí)是根據(jù)為的獨(dú)立變量)這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)不容易分辨.而且此方法的計(jì)算量較大.</p><p>　　例2：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：令 （*）

56、</p><p>　　對(duì)（*）式兩邊同時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，得：</p><p>　　對(duì)（*）式兩邊同時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，得：</p><p><b>　　再由公式.</b></p><p>　　（注：由上面的計(jì)算過(guò)程我們可以看出：第一，本題計(jì)算較為復(fù)雜；第二，在對(duì)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將看作常數(shù)，在對(duì)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將看作常數(shù).）</p&g

57、t;<p>　　例3：設(shè)方程式確定變量為的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　解：先計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)</b></p><p><b>　　設(shè)，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b><

58、;/p><p><b>　　所以</b></p><p>　　二階導(dǎo)數(shù)即為一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)</p><p>　?。ㄗⅲ河?jì)算二階導(dǎo)數(shù)時(shí)也要應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并最后要把一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果代人）</p><p><b>　　故.</b></p><p><b>　　3．微商法[

59、10]</b></p><p>　　利用對(duì)確定隱函數(shù)的方程兩邊同時(shí)求微分，再根據(jù)函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（對(duì)的導(dǎo)數(shù)即為的微分與的微分的商）求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.此種方法與公式法有著同樣的缺點(diǎn)，即：在求微分的過(guò)程中需要分別把看作獨(dú)立變量，而且該方法比公式法的計(jì)算過(guò)程更復(fù)雜一些.</p><p>　　例4：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><

60、p>　　解：對(duì)上方程的兩邊同時(shí)求微分，得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4.參數(shù)法[10]</b></p><p>　　引入?yún)?shù)把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，再利用參數(shù)方程組所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法在把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程組所確定的函數(shù)時(shí)，

61、步驟較為復(fù)雜，因此一般很少使用.</p><p>　　例5：方程確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：令 （1）</p><p><b>　　又由 （2）</b></p><p>　　聯(lián)立（1）、（2）解得 （為參數(shù)）</p><p><b>　　.<

62、/b></p><p><b>　　5．復(fù)合法[10]</b></p><p>　　把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法的原理類似于對(duì)數(shù)求導(dǎo)法原理，但比對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用性更廣泛.</p><p>　　例6：方程確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　

63、　解：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　6．直接法[10]</b></p><p>　　直接把確定隱函數(shù)的方程中的看成是的函數(shù),再對(duì)方程的兩邊同時(shí)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，從而得到一個(gè)含有的方程，由此方程解出的方法.該方法具有很好的適用性，因此也被廣泛使用，但是該方法要求使用者比較

64、熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等一些基本的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，而且若能夠把此方法和復(fù)合法靈活地結(jié)合起來(lái)使用，將是求導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)極其有用的工具.</p><p>　　例7：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：分析：因?yàn)榉匠桃呀?jīng)確定了是的函數(shù)，所以不妨假設(shè)可以表示成：的形式，故原方程中的都可以換成，于是，原方程變?yōu)椋海藶橹缓械囊辉匠?，?duì)此方程的兩邊同時(shí)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，即可得

65、到一個(gè)含有的方程，解此方程即可得到，而，從而得到.但在具體的求解過(guò)程中就不必要把寫成，只需把看成是即可.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　7．用二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)[11]</p><p>　　設(shè)方程在某些條件下確定的隱函數(shù)為，則有，運(yùn)用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得和，所以.</p>

66、<p>　　例8：計(jì)算由方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：設(shè)，，，，所以，.</p><p><b>　　隱函數(shù)的極值</b></p><p><b>　　隱函數(shù)極值定理</b></p><p>　　定理5[12] 設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，則當(dāng)時(shí),由方程

67、確定的隱函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時(shí), 由方程確定的隱函數(shù)在處取得極小值.</p><p>　　引理3 若函數(shù)在 的鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù).且, 則(1) 當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)； ( 2) 當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn).</p><p>　　證明：由，得，又，所以</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　又因

68、為，，所以.由引理2知，</p><p>　　當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處取得極小值；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處取得極大值.</p><p>　　定理6[13] 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由方程所確定的元

69、函數(shù)為，則</p><p>　　當(dāng)為正定矩陣時(shí),在處取得極小值;</p><p>　　當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí), 在處取得極大值;</p><p>　　當(dāng)為不定矩陣時(shí), 在處不取得極值.</p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　引理4 若元函數(shù)在駐點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

70、 在駐點(diǎn)處作矩陣</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則(1)當(dāng)為正定矩陣時(shí),元函數(shù)在處取得極小值；(2)當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí),元函數(shù)在處取得極大值；(3)當(dāng)是不定矩陣時(shí),元函數(shù)在處不取得極值.</p><p>　　證明：由，得，又，所以</p><p><b>　　，在中對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得<

71、/b></p><p><b>　　因?yàn)椋?所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以.由元顯函數(shù)極值存在的條件即引理4知，</p><p>　　當(dāng)為正定矩陣時(shí),在處取得極小值;</p><p>　　當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí), 在處取得極大值;

72、</p><p>　　當(dāng)為不定矩陣時(shí), 在處不取得極值.</p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　例1：求由方程所確定的隱函數(shù)的極值.</p><p><b>　　解：令，由</b></p><p>　　得駐點(diǎn)，，而，，，，所以，.而為負(fù)定矩陣，為正定

73、矩陣, 由定理2知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.</p><p><b>　　隱函數(shù)的極值求法</b></p><p>　　一：隱函數(shù)確定的函數(shù)的極值求解步驟歸納如下[14]：</p><p>　　⑴利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出.</p><p>　　⑵求出函數(shù)的定義域內(nèi)特殊的點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)），即的點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)不存

74、在的點(diǎn)的點(diǎn)；有的隱函數(shù)還存在同時(shí)既是導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)又是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).</p><p>　?、菍?duì)于的點(diǎn)一般用第二充分條件判斷；對(duì)于的點(diǎn)可用反證法說(shuō)明或從函數(shù)方程來(lái)考慮，對(duì)于的點(diǎn)只能從函數(shù)本身來(lái)考慮．</p><p>　　例2：設(shè)函數(shù)是由方程確定，試求出的極值.</p><p>　　解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，化簡(jiǎn)得.</p><p>　　令，即，代

75、人方程解得；.不存在的點(diǎn)，即，代人方程解得；.</p><p>　　對(duì)于，利用極值的第二充分條件：，所以在取得極大值.</p><p>　　對(duì)于，不能用第一、第二充分條件來(lái)判斷，由于原來(lái)函數(shù)是連續(xù)的，且可以取到和的值，所以不是原來(lái)函數(shù)的極值點(diǎn).</p><p>　　對(duì)于，若是函數(shù)的極小（或大）值，則存在，當(dāng)時(shí)，（或），由，在此領(lǐng)域內(nèi)當(dāng)時(shí)函數(shù)是單調(diào)的（當(dāng)時(shí)函數(shù)也是單調(diào)

76、），顯然與函數(shù)的連續(xù)性矛盾，所以此領(lǐng)域內(nèi)可以得到和的函數(shù)的單調(diào)性，總之不是函數(shù)的極值點(diǎn).</p><p>　　二：幾何判別法[15]</p><p>　　對(duì)于隱函數(shù)的極值問(wèn)題,通常是根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法求出隱函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù),再根據(jù)多元顯函數(shù)取極值的必要和充分條件,求得隱函數(shù)的極值.利用方向?qū)?shù)討論隱函數(shù)極值卻很少見到.所以我們?cè)诜较驅(qū)?shù)的基礎(chǔ)上,得到了隱函數(shù)的幾何判別法, 豐富了隱函數(shù)極

77、值的判別理論.</p><p>　　定理7：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)可微，是駐點(diǎn)，中任意一點(diǎn)，用表示方向.</p><p>　　（1）若，則在點(diǎn)取得極小值；</p><p>　?。?）若，則在點(diǎn)取得極大值.</p><p>　　證明：設(shè)，，表示與兩點(diǎn)間的距離.當(dāng)矢量與方向一致時(shí)，，反之，.</p><p>　　在泰勒公

78、式的方向?qū)?shù)形式中，取一階展開，則有</p><p>　　其中，由于矢量與方向一致，則，由條件（1）可知，對(duì)于任意的點(diǎn)，且，都有，即在點(diǎn)取得極小值.</p><p>　　同理可證（2）成立.</p><p>　　定理8：設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則在內(nèi)唯一地確定了一個(gè)定義在的某鄰域內(nèi)的隱函數(shù)為.任意的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，用表示方向，過(guò)作的切平面，在平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

79、為，用表示方向，則</p><p>　　其中表示與軸正向的夾角.</p><p>　　證明：過(guò)作的切平面，則其方程為 （4-1）</p><p>　　在切平面上，即滿足方程，有 （4-2）</p><p>　　設(shè)由投影定理可知 （4-3）</p><p>　　令，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，（4-2）、（4

80、-3）式及隱函數(shù)定理可知：.從而定理得證.</p><p>　　由定理7、定理8即可得到隱函數(shù)極值的幾何判別法.</p><p>　　推論：在定理8的條件下,若，則隱函數(shù)在取得極小值；若，則隱函數(shù)在取得極大值.</p><p><b>　　隱函數(shù)的應(yīng)用</b></p><p>　　由于隱函數(shù)在數(shù)學(xué)分析解題中有著廣泛的應(yīng)用

81、．下面就著重來(lái)介紹下隱函數(shù)定理，隱函數(shù)極值定理的一些應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)其有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解．</p><p><b>　　幾何中的應(yīng)用</b></p><p>　　例1[16]：求一條平面二次曲線，使過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，且分別在點(diǎn)與點(diǎn)處與直線相切（圖1），并證明直線在曲線上點(diǎn)處的法線上，其中點(diǎn)為點(diǎn)到曲線的最近點(diǎn).</p><p>　　解：（1）先求二次曲線

82、的方程.</p><p><b>　　設(shè)直線的方程分別為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　， （5-1）</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于，.<

83、;/p><p>　　令，則是二元二次方程，表示一條圓錐曲線（即不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的任意平面截圓錐所得的曲線）.由于曲線在點(diǎn)處的法向量（即該點(diǎn)處與切向量垂直的向量），其中，于是，法向量，而是直線在點(diǎn)處的法向量，故曲線在點(diǎn)處與直線相切.同理可得曲線在點(diǎn)處與直線相切.因此，所求平面二次曲線的方程為</p><p>　　其中由（5-1）式確定.</p><p>　　（2）下證直線在曲

84、線上點(diǎn)處的法線上.</p><p>　　設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)到曲線的最近點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，并使距離為最小.構(gòu)造函數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則點(diǎn)的坐標(biāo)還滿足方程組，因此</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　又曲線在

85、點(diǎn)處的法向量為，而向量，由（5-2）式知，即在曲線上點(diǎn)處的法線上.</p><p><b>　　經(jīng)濟(jì)方面中的應(yīng)用</b></p><p>　　以一個(gè)簡(jiǎn)單的國(guó)民收入模型為例介紹了隱函數(shù)定理及在其基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出來(lái)的比較靜態(tài)分析一般形式體系在經(jīng)濟(jì)學(xué)比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用[17].</p><p>　　比較靜態(tài)分析，就是研究外生變量和參數(shù)值的變化對(duì)內(nèi)變量

86、的影響方式（定性），以及分析比較不同數(shù)值的外生變量與參數(shù)下的內(nèi)生變量的不同數(shù)值（定量）.也就是說(shuō)，比較靜態(tài)分析涉及兩種與不同參數(shù)值和外生變量相聯(lián)系的不同均衡狀態(tài)之間的相互比較.基于比較之目的，一般總是假設(shè)以給定的初始均衡狀態(tài)作為出發(fā)點(diǎn)，例如在局部市場(chǎng)模型中，初始均衡由分析之前確定的均衡價(jià)格和相應(yīng)的均衡數(shù)量代表.現(xiàn)在，若我們以使模型中某些參數(shù)或外生變量發(fā)生變化的形式令模型發(fā)生非均衡變化，則給定的初始均衡必然會(huì)被打破，因而各內(nèi)生變量必然要經(jīng)

87、歷某些調(diào)整.若假設(shè)與新的參數(shù)和外生變量值相關(guān)的新的均衡狀態(tài)有定義且可以達(dá)到，即我們建立的模型具有調(diào)整的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，那么比較靜態(tài)分析所面臨的問(wèn)題是：新均衡如何與原均衡相比較，即參數(shù)或外生變量的變化對(duì)模型均衡狀態(tài)影響的大小與方向如何確定的問(wèn)題.</p><p>　　考慮下面用一般函數(shù)形式表示的國(guó)民收入模型，其中商品市場(chǎng)的特征由以下四個(gè)函數(shù)規(guī)定[17]：</p><p>　　（1）投資支出是利率

88、的減函數(shù)：.</p><p>　?。?）儲(chǔ)蓄是國(guó)民收入以及利率的函數(shù)：，記（邊際儲(chǔ)蓄傾向），，則.</p><p>　　（3）進(jìn)口支出是國(guó)民收入的增函數(shù)：，記（邊際進(jìn)口傾向），則.</p><p>　?。?）出口水平由外生的因素決定：.</p><p>　　貨幣市場(chǎng)的特征由以下兩個(gè)函數(shù)決定：</p><p>　?。?）

89、貨幣需求是國(guó)民收入的增函數(shù)（交易需求），是利率的減函數(shù)（投機(jī)需求）：，記，，則.</p><p>　　（2）貨幣供給作為一個(gè)貨幣政策問(wèn)題，由外生的因素決定.</p><p>　　此模型要達(dá)到均衡狀態(tài)必須同時(shí)滿足商品市場(chǎng)以及貨幣市場(chǎng)的均衡條件，在上述一般函數(shù)的基礎(chǔ)上，均衡狀態(tài)可用下述方程組I來(lái)表示：I在上述方程組中均為函數(shù)符號(hào)，且假定這些函數(shù)均具有在這個(gè)簡(jiǎn)單國(guó)民收入模型中有兩個(gè)內(nèi)生變量國(guó)民收

90、入和利率，以及兩個(gè)參數(shù)出口（由國(guó)外決定）和貨幣供給（由貨幣當(dāng)局決定），而且內(nèi)生變量和一般依賴于兩個(gè)參數(shù)和.因此這個(gè)模型的均衡與可以分別表連續(xù)導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，這樣示為及，而對(duì)這個(gè)模型的比較靜態(tài)分析就是確定，這些比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)的大小與符號(hào)，以此來(lái)確定當(dāng)兩個(gè)參數(shù)和（以初始均衡為出發(fā)點(diǎn)）發(fā)生變化時(shí)均衡解和變化的大小和方向.那么我們?cè)趺茨艽_定方程組I有可能定義了兩個(gè)隱式函數(shù)和，更進(jìn)一步地若方程組I的確定義了兩個(gè)隱式函數(shù)和，那么我們?cè)诓恢苯忧蠼獾那闆r下

91、怎樣才能確定這些比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)的大小與符號(hào)呢？為了解決上述問(wèn)題，在比較靜態(tài)分析中，我們可以采用隱函數(shù)定理作為一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)手段.</p><p>　　已知有以下聯(lián)立方程組：</p><p><b>　　II</b></p><p>　　此聯(lián)立方程組定義了以下一組隱函數(shù)：</p><p><b>　　III&l

92、t;/b></p><p>　　隱函數(shù)定理的一般化形式可以表述如下：</p><p>　　給定方程組II，若（1）對(duì)所有和變量，函數(shù)均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，（2）若點(diǎn)滿足方程組II，且下述雅可比行列式非零：</p><p>　　則存在一個(gè)的維領(lǐng)域，在此領(lǐng)域內(nèi)變量是變量的隱函數(shù)，其形式如方程組III所示，而且這些隱函數(shù)對(duì)所有的變量均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).</p&g

93、t;<p>　　根據(jù)上述隱函數(shù)定理我們可以推導(dǎo)出對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行比較靜態(tài)分析的一般形式體系.若我們假設(shè)一個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型的均衡狀態(tài)由函數(shù)表示，其中且，再假設(shè)的一般形式為：</p><p>　　，為模型的內(nèi)生變量（內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)恰好等于的個(gè)數(shù)，這是我們應(yīng)用隱函數(shù)定理的一個(gè)必要條件），為模型的參數(shù)或外生變量，且函數(shù)對(duì)所有的和變量均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).又設(shè)處的雅可比矩陣是非奇異的，那么根據(jù)隱函數(shù)定理，在的附

94、近，內(nèi)生變量的均衡解可以表示成參數(shù)的隱函數(shù)：</p><p>　　且對(duì)所有的參數(shù)或外生變量都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　由于解決實(shí)際問(wèn)題的需要，人們引進(jìn)了一些隱函數(shù)的概念，并且對(duì)它們進(jìn)行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論.現(xiàn)今隱函數(shù)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支

95、的基礎(chǔ)，并且隱函數(shù)定理也隨之成為解決實(shí)際問(wèn)題中的一種有力工具之一，其應(yīng)用的范圍也越來(lái)越廣泛.隱函數(shù)中的一個(gè)重要定理——隱函數(shù)定理——是隱函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)理論，是隱函數(shù)的核心理論.所以隱函數(shù)定理的重要性也就顯而易見了.除此，還有隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)的極值，隱函數(shù)求導(dǎo)方法.本文通過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)資料的查閱，向人們介紹隱函數(shù)的理論，主要是隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的應(yīng)用.第一部分：隱函數(shù)的基本概念．介紹了隱函數(shù)的定義，隱函數(shù)的定理及證明

96、，隱函數(shù)存在定理的推廣及證明.第二部分：隱函數(shù)組的基本概念.介紹了隱函數(shù)組的定義，隱函數(shù)組的定理及證明.第三部分：隱函數(shù)的求導(dǎo).介紹了偏導(dǎo)數(shù)的基本概念，隱函數(shù)求導(dǎo)的方法.第四部分：隱函數(shù)的極值．介紹了隱函數(shù)極值定理及證明，隱函數(shù)的極值求法.第五部分：隱函數(shù)的應(yīng)用.介紹了在幾何中的應(yīng)用，在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.</p><p>　　如果在實(shí)際工作中，我們能經(jīng)常利用數(shù)學(xué)的思想去思考問(wèn)題，往往能突破我們思維上的禁錮，拓寬考慮

97、問(wèn)題的思路，可以為實(shí)際問(wèn)題的順利解決提供了較大的幫助.</p><p>　　本文的目標(biāo)是運(yùn)用隱函數(shù)的定理及其幾何意義解決一些數(shù)學(xué)上的實(shí)際問(wèn)題. 熟悉隱函數(shù)的理論，通過(guò)學(xué)習(xí)可以具有分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本能力，并且用相關(guān)的隱函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　Walter Rudin. Princ

98、iples of Mathematical Analysis[M]. China Machine Press. 2004.1</p><p>　　華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].高等教育出版社,2001.</p><p>　　[美]阿潑斯托爾（Apostol,T.M.）.數(shù)學(xué)分析（英文版 第2版）[M].機(jī)械工業(yè)出版社.2004.</p><p>　　劉

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100、006,6:9-1.</p><p>　　李保榮.隱函數(shù)組定理證明的教學(xué)芻議[J].邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2010,3:7-1.</p><p>　　劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義（下冊(cè)）第五版[M]. 高等教育出版社,2008,4.</p><p>　　陳志惠.關(guān)于隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題的歸納與總結(jié)[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010:121-3.</p>&

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102、0,5:30-3.</p><p>　　常健,高麗.判定隱函數(shù)極值的幾何方法[J].江西科學(xué),2007,4:25-2.</p><p>　　陸全,肖亞蘭,葉正麟.隱函數(shù)求導(dǎo)在曲線、曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005:18-2</p><p>　　王鋒,李蘊(yùn)潔.隱函數(shù)定理在經(jīng)濟(jì)學(xué)比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用[J].云南大學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào)，經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005,3:20

103、-3.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　隱函數(shù)的理論與應(yīng)用</b></p><p>　　一、前言部分（說(shuō)明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）</p><p>　　通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個(gè)解析式（或分段函數(shù)用不同的

104、解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過(guò)一個(gè)（或多個(gè)）方程或來(lái)確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).本人通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)來(lái)對(duì)隱函數(shù)做一個(gè)論述.</p><p>　　下面先來(lái)介紹隱函數(shù)，隱函數(shù)組的基本概念.</p><p>　　定義[1]：設(shè),，函數(shù):.對(duì)于方程</p><p&g

105、t;<b>　?。?）</b></p><p>　　若存在集合與，使得對(duì)于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1），則稱由方程（1）確定一個(gè)定義在上，值域含于的隱函數(shù).</p><p>　　定義[2]：設(shè)和為定義在區(qū)域上的兩個(gè)三元函數(shù)。若存在區(qū)間,對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn),分別有區(qū)間和上唯一的一對(duì)值,, 它們與一起滿足方程組</p><p><

106、b>　?。?）；</b></p><p>　　則說(shuō)方程組(2)確定了兩個(gè)定義在區(qū)間上,值域分別落在和內(nèi)的函數(shù).我們稱這兩個(gè)函數(shù)為由方程組(2)所確定的隱函數(shù)組,若分別記這兩個(gè)函數(shù)為,,則在區(qū)間上成立恒等式和.</p><p>　　隱函數(shù)存在性條件[3]：隱函數(shù)必須在指出確定它的方程以及，的取值范圍后才有意義.</p><p>　　在理解了隱函數(shù)，隱

107、函數(shù)組定義及存在條件的基礎(chǔ)上，我們要開始解決隱函數(shù)存在定理及推廣問(wèn)題，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的極值問(wèn)題.本論文的目的是在原有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上加以整理和歸納，概括出隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，并輔以典型的例題來(lái)論證方法的可行性和實(shí)用性，進(jìn)而介紹了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法在幾何方面和日常實(shí)際中的應(yīng)用，使我們所學(xué)知識(shí)加以鞏固和提高，起到“溫故”而“知新”的作用.</p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、

108、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）</p><p>　　如果方程能確定與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么稱這個(gè)方程為隱函數(shù)[4].</p><p>　　本人通過(guò)查閱相關(guān)的文獻(xiàn)、資料，對(duì)隱函數(shù)的知識(shí)做了總結(jié)和歸納，并利用隱函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.</p><p>　　隱函數(shù)存在惟一性定理[1]</p><p><b>　　若滿足下列條件：<

109、/b></p><p>　?。╥）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；</p><p>　?。╥i）（通常稱為初始條件）；</p><p>　?。╥ii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；</p><p><b>　　（iv），</b></p><p>　　則在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間

110、內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得</p><p><b>　?、?時(shí)且；</b></p><p><b>　?、?在內(nèi)連續(xù).</b></p><p>　　隱函數(shù)存在定理的推廣</p><p>　　定理1[5] 設(shè)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，滿足</p><p><b>　　1）&

111、lt;/b></p><p>　　2）存在正數(shù)及，使以下（）、（）兩條件至少有一個(gè)成立</p><p><b>　　（） </b></p><p><b>　?。ǎ?</b></p><p>　　這里等是關(guān)于的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　那么存在上的連續(xù)函數(shù)，使.&

112、lt;/p><p>　　定理2[6] 函數(shù)是帶域上的有界函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足，在上可測(cè)，則存在，使得.</p><p>　　定理3[7] 若函數(shù)滿足下列條件:</p><p>　?。?）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；</p><p><b>　?。?）；</b></p><p>　?。?

113、）在內(nèi)存在關(guān)于的直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;</p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi),方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù)),使得</p><p><b>　?。?）時(shí)且；</b></p><p><b>　?。?）在內(nèi)連續(xù);

114、</b></p><p>　　注:當(dāng)為奇數(shù)時(shí),無(wú)法判斷隱函數(shù)的存在性,也無(wú)法判斷惟一性.</p><p><b>　　隱函數(shù)組定理[8]</b></p><p>　　設(shè)方程組 （3），</p><p>　　若（3）中的與滿足：</p><p><b>　?。╥）在上連續(xù)

115、，；</b></p><p><b>　?。╥i）；</b></p><p>　?。╥ii）在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；</p><p><b>　?。╥v），</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　、使，，即有，，

116、滿足及，；</p><p><b>　　、在內(nèi)連續(xù)；</b></p><p>　　、在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且</p><p>　　隱函數(shù)求導(dǎo)的方法[9]</p><p><b>　　1、顯化法</b></p><p>　　把隱函數(shù)化為顯函數(shù)后，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求隱

117、函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此種方法常用于較容易化為顯函數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)，但是此種方法由于受有些隱函數(shù)不能或較難化為顯函數(shù)限制，而不是很常用.</p><p>　　例：方程確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：原方程化為，所以.</p><p>　　但是，不是所有的隱函數(shù)都能化為顯函數(shù)，例如：方程：就不能用顯化法.</p><p><b

118、>　　2、公式法</b></p><p>　　利用公式：來(lái)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法[10].這種方法要求先把確定隱函數(shù)的方程寫成的形式，再對(duì)的兩邊同時(shí)分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，然后再利用該公式求出.而且在對(duì)的兩邊同時(shí)分別求導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要先后把看作常數(shù)(其實(shí)是根據(jù)為的獨(dú)立變量)這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)不容易分辨.而且此方法的計(jì)算量較大.</p><p>　　例：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).<

119、;/p><p>　　解：令 （*）</p><p>　　對(duì)（*）式兩邊同時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，得：</p><p>　　對(duì)（*）式兩邊同時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，得：</p><p><b>　　再由公式.</b></p><p>　　注：由上面的計(jì)算過(guò)程我們可以看出：第一，本題計(jì)算較為復(fù)雜；第二，在對(duì)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將

120、看作常數(shù)，在對(duì)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將看作常數(shù).</p><p><b>　　3、微商法</b></p><p>　　利用對(duì)確定隱函數(shù)的方程兩邊同時(shí)求微分，再根據(jù)函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（對(duì)的導(dǎo)數(shù)即為的微分與的微分的商）求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.此種方法與公式法有著同樣的缺點(diǎn)，即：在求微分的過(guò)程中需要分別把看作獨(dú)立變量，而且該方法比公式法的計(jì)算過(guò)程更復(fù)雜一些.</

121、p><p>　　例：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：對(duì)上方程的兩邊同時(shí)求微分，得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4.參數(shù)法</b></p><p>　　引入?yún)?shù)把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，再利用參數(shù)方程組

122、所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法在把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程組所確定的函數(shù)時(shí)，步驟較為復(fù)雜，因此一般很少使用.</p><p>　　例：方程確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：令 （1）</p><p><b>　　又由 （2）</b></p><p>　　聯(lián)立（1）、（2

123、）解得 （為參數(shù)）</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　5、復(fù)合法</b></p><p>　　把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法的原理類似于對(duì)數(shù)求導(dǎo)法原理，但比對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用性更廣泛.</p><p>　　例：方程確定

124、了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　6、直接法</b></p><p>　　直接把確定隱函數(shù)的方程中的看成是的函數(shù),再對(duì)方程的兩邊同時(shí)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，從而得到一個(gè)含有的方程，由此方程

125、解出的方法.該方法具有很好的適用性，因此也被廣泛使用，但是該方法要求使用者比較熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等一些基本的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，而且若能夠把此方法和復(fù)合法靈活地結(jié)合起來(lái)使用，將是求導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)極其有用的工具.</p><p>　　例：方程：確定了是的函數(shù)，求對(duì)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　解：分析：因?yàn)榉匠桃呀?jīng)確定了是的函數(shù)，所以不妨假設(shè)可以表示成：的形式，故原方程中的都可以換成，于

126、是，原方程變?yōu)椋?，此為只含有的一元方程，?duì)此方程的兩邊同時(shí)求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，即可得到一個(gè)含有的方程，解此方程即可得到，而，從而得到.但在具體的求解過(guò)程中就不必要把寫成，只需把看成是即可.</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　隱函數(shù)極值定理</b></p><p>　　定理1[11] 設(shè)函數(shù)在的鄰

127、域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，則當(dāng)時(shí),由方程確定的隱函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時(shí), 由方程確定的隱函數(shù)在處取得極小值.</p><p>　　定理2[12] 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由方程所確定的元函數(shù)為，則</p><p>　　當(dāng)為正定矩陣

128、時(shí),在處取得極小值;</p><p>　　當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí), 在處取得極大值;</p><p>　　當(dāng)為不定矩陣時(shí), 在處不取得極值.</p><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　隱函數(shù)的極值求法</b></p><p>　?。ㄒ唬╇[函數(shù)確定的函數(shù)的