根軌跡和虛軸的交點(diǎn)

1、1,第二節(jié) 根軌跡繪制的基本法則,2,2、根軌跡的對(duì)稱性： 一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實(shí)軸上或?qū)ΨQ于實(shí)軸。,用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系，根軌跡的特殊點(diǎn)，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對(duì)參數(shù) 的180度根軌跡的性質(zhì)。,1、根軌跡的連續(xù)性：

2、閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益 的函數(shù)。當(dāng) 從0到無窮變化時(shí)，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。,3,4、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：,根軌跡方程為：,時(shí)為起點(diǎn)， 時(shí)為終點(diǎn)。,3、根軌跡的支數(shù)： n階特征方程有n個(gè)根。當(dāng) 從0到無窮大變化時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。,當(dāng) 時(shí)，只有

3、 時(shí)，上式才能成立。而 是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，所以根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。n階系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別是n支根軌跡的起點(diǎn)。,4,我們稱系統(tǒng)有n-m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。,那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？,當(dāng) 時(shí)，① ，上式成立。 是開環(huán)傳遞函數(shù)

4、有限值的零點(diǎn)，有m個(gè)。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。②若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。 由根軌跡方程知：當(dāng) 時(shí),5,5.根軌跡的漸近線：,若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時(shí)趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。,由根軌跡方程可得：,式中 ，,6,當(dāng)

5、Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為,兩邊開n-m次方,利用二項(xiàng)式定理,當(dāng) 時(shí)， ，令 ，,7,設(shè)s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(De Moive)代數(shù)定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可寫為

6、,8,,這是與實(shí)軸交點(diǎn)為－s，斜率為 的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實(shí)軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為,9,5.根軌跡的漸近線：,漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。,傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn) ，則s平面上所有的開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到 的相角都相等，即為漸近線的傾角 。代入根軌跡的相角條件得：,10,幅值條件：,11,12,[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)

7、傳遞函數(shù)為： ，試確定根軌跡支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,漸近線與實(shí)軸的傾角：,零極點(diǎn)分布和漸近線（紅線）如圖所示。,13,6、實(shí)軸上的根軌跡：,實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。,[證明]：例如在實(shí)軸上有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2，復(fù)平面上有一對(duì)共軛極點(diǎn)p3、 p4和一對(duì)共軛零

8、點(diǎn)z1、 z2 。,先看試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)：,所以s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，于是[－p2 ,－p1]為實(shí)軸上的根軌跡。,,②成對(duì)出現(xiàn)的共軛零點(diǎn)z1、 z2對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；,③試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn)p2對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為0°；,④試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn)p1對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為180°；,再看s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。,①成對(duì)出現(xiàn)的共軛極點(diǎn)p3、 p4對(duì)實(shí)

9、軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；,同樣s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn)。,14,[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實(shí)軸上的根軌跡。,[解]：零極點(diǎn)分布如下：,紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“ ”表示。,15,7、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：,若干

10、根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。,如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點(diǎn) 出發(fā)的兩支根軌跡，隨著 的增大在實(shí)軸上A點(diǎn)相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著 的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上B點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。當(dāng) 時(shí)，一支根軌跡終止于 另一支走向 。A、B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。,16,7、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和

11、分離點(diǎn)：,若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。,一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)； 如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。 如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。,17,[分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法]：由重根法，求極值法和作

12、圖法等。,①重根法：根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)表示這些點(diǎn)是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)。,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,即,[分離角]：在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)上，根軌跡的切線和實(shí)軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)： 。,因閉環(huán)特征方程為：,設(shè) 時(shí)，特征方程有重根 ，則必同時(shí)滿足,18,由此得：,即：,注意：由上式可求得的點(diǎn)是分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必要條件，還

13、需求出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，若增益為大于零的實(shí)數(shù)，則所求出的點(diǎn)為分離會(huì)合點(diǎn)。,19,②極值法：參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標(biāo)，以實(shí)軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)上，Kg具有極值。,即,20,③求分離回合點(diǎn)的另一個(gè)公式,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,因閉環(huán)特征方程為：,即閉環(huán)特征方程為：,重根時(shí)還滿足,21,22,實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：,注意：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

14、必對(duì)稱于實(shí)軸。,顯然，分離回合點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點(diǎn)。,閉環(huán)特征方程為：,23,8、根軌跡的出射角和入射角：,當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角成為入射角。,圖中有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。 為共軛極點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)算 的出射角。設(shè)為 。,在離開 附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1,則s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件

15、：,當(dāng) 時(shí)， 即為離開根軌跡上 的出射角， ，則：,24,式中： 為除了 以外的開環(huán)極點(diǎn)到 的矢量的相角； 為開環(huán)零點(diǎn)到 的矢量的相角。,同樣，進(jìn)入復(fù)零點(diǎn) 的根軌跡入射角 為：,式中： 為除了 以外的開環(huán)零點(diǎn)到 的矢量相角； 為各開環(huán)極點(diǎn)到 的矢量相角。,的

16、出射角應(yīng)與 的出射角關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。,25,,[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的出射角。,[解]：,26,9、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)：,根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益 稱為臨界根軌跡增益。,交點(diǎn)和 的求法：,在閉環(huán)特征方程中令 ，然后使特征方程的實(shí)、虛部為零即可求出 和 。,由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。,27,方

17、法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,將 代入得：,[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和 。,當(dāng) 時(shí)， 為根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)）,當(dāng) 時(shí)， ，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 。,28,方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值。,勞斯陣列為：

18、,勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。,共軛虛根為輔助方程 的根。,1、令 ，得臨界增益為：,2、令 ，得 （開環(huán)極點(diǎn)）。,29,10、閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和與之積：,開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： ，即：,(

19、1),設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為： ，則,(2),30,比較（1）、（2）式得：,當(dāng)n-m>=2時(shí)， ，即：,閉環(huán)極點(diǎn)之積為：,根據(jù)上述10個(gè)性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。,當(dāng)有為零的開環(huán)極點(diǎn)：,31,根軌跡作圖步驟,,一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、

20、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。,32,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角 ，,⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為,解

21、：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：,⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得：,33,⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程,由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù)。,34,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角

22、 ，,⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為,解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：,⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得：,35,⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程,由圖知這兩點(diǎn)都在根軌跡上，所以都是分離會(huì)合點(diǎn)。,36,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角 ，,⒌求與虛軸的交點(diǎn)

23、，此時(shí)特征方程為,解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：,⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得： ，,37,⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程,由圖知這點(diǎn)在根軌跡上，所以是分離會(huì)合點(diǎn)。而且是三重根點(diǎn)。此時(shí)分離角為,38,小結(jié),需掌握繪制根軌跡的十個(gè)準(zhǔn)則 根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性； 根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和漸進(jìn)線； 根軌跡實(shí)軸上的點(diǎn)和根軌跡的分離點(diǎn)，會(huì)合點(diǎn)； 根軌跡的出射角、入射角和虛