第三章中值定理與導數(shù)的應(yīng)用-上海中醫(yī)藥大學

1、,,中值定理,應(yīng)用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導數(shù)解決實際問題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三節(jié)),,,第三章 導數(shù)的應(yīng)用,定理1 設(shè)函數(shù) f (x)滿足條件：,由上述的討論，我們可以得到如下定理——羅爾（Rolle）定理。,（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；,（3） f (a) = f (b) .,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ ，使得,證 因 f (

2、x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。,(1)若M = m則 f (x)在[a,b]上是常數(shù)；,f (x) = M， x∈ [a,b],,3.1.1 羅 爾 定 理,由于 f (x)在ξ處取最大值，所以不論△ x為正或為負，總有,當△ x >0時,,(2)若M ≠ m ，則M , m中至小有一個不等于 f (a) ，不妨設(shè) f (a) ≠ M 。因此，函數(shù) f (x)在內(nèi)

3、(a,b)某一點ξ處取到最大值M 。我們來證 。,同理，當△ x <0時,,從而 ，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有,因此必然有,3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理,,由上述的討論，我們可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理。,定理2 設(shè)函數(shù) f (x)滿足條件：,（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間(a,b

4、)內(nèi)可導；,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ ，使得,分析：若 f (a) = f (b)即為羅爾定理，不妨設(shè) f (a) ≠ f (b) ，證明的思路是借助一個輔助函數(shù)把拉格朗日定理轉(zhuǎn)化為已知的羅爾定理。,容易看出，弦 的方程為,證 作輔助函數(shù),即,它是 x 的函數(shù)，將其記為 ，顯然函數(shù)滿足羅爾定理的條件。,顯然 在上[a,b]連續(xù)，在(a

5、,b)可導，且,于是由羅爾定理，至少存在一點ξ ∈ (a,b) ，使得,,Made by Huilai Li,,,,,,,,,,,,,,,中值定理的演示,,,,,,,,,T 與 l 平行,這樣的x可能有好多,在區(qū)間 上應(yīng)用拉各朗日中值定理時，結(jié)論可以寫成,由拉格朗日定理可以得出兩個重要的推論。,證 在(a,b)內(nèi)任意取兩點 x1，x2，不妨設(shè) x1< x2，顯然 f (x)在

6、[a,b]上連續(xù)，在(x1，x2)內(nèi)可導，由拉格朗日中定理可知，至少存在一點ξ∈ (x1，x2) ，使得,推論2 若函數(shù) f (x)， g(x)在(a,b)內(nèi)可導，且,推論1 若函數(shù) f (x)在(a,b)內(nèi)任意點的導數(shù) ，則 f (x)在(a,b)內(nèi)是一個常數(shù)。,由條件知 ，從而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f

7、(x1)。由 x1，x2是(a,b)內(nèi)的任意兩點，于是我們就證明了 f (x)在(a,b)內(nèi)恒為一個常數(shù)。,則在(a,b)內(nèi)， f (x)與g(x)最多相差一個常數(shù)，即,其中c為常數(shù)。,事實上，因為 ，由推論1可知,應(yīng)用拉格朗日定理，我們不可以證明一些等式和不等式 。,例1. 證明等

8、式,證: 設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經(jīng)驗:,欲證,時,只需證在 I 上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 證明不等式,證: 設(shè),中值定理條件,,即,因為,故,因此應(yīng)有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.1.3 柯 西 中 值 定 理,定理3 設(shè)函數(shù) f (x) 和 g(x) 滿

9、足條件：,作為拉格朗日定理的推廣，我們證明如下柯西定理：,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得,證 先用反證法證明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(shù)(b) = g(a).則由羅爾定理知，至少存在一點x0∈ (a,b)，使得 ，此與條件(3)矛盾，故有g(shù)(b) － g(a)≠0。,（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；,注 容易看出，拉格朗日

10、中值定理是柯西定理當 g (x) = x時的一個特殊情況。柯西定理的一個直接應(yīng)用是證明下面的洛必達法則。,即,顯然F (x)滿足羅爾定理的三個條件，因此，在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得 ，即,為證明等式成立，我們作輔助函數(shù),費馬(1601 – 665),法國數(shù)學家,,他是一位律師,,數(shù)學,只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,,博,覽群書并善于思考,,在數(shù)學上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數(shù)論,,他提

11、出,的費馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學的先驅(qū) ,,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,,拉格朗日 (1736 – 1813),法國數(shù)學家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,,近百,余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對分析數(shù)學,產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.,,柯西(1789 – 1857),,法國數(shù)學家,,他對數(shù)學的貢獻主要集中,在微積分學

12、,,《柯,西全集》共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學,校編寫的《分析教程》,,《無窮小分析概論》, 《微積,分在幾何上的應(yīng)用》 等,,有思想有創(chuàng)建,,響廣泛而深遠 .,對數(shù)學的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.,復變函數(shù)和微分方程方面 .,一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 ,,三、其他未定式,,二、,型未定式,一、,型未定式,,,第二節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回

13、 結(jié)束,洛必達法則,第三章,定理：設(shè)（1） （2）在點 的某鄰域內(nèi)（點 本身可以 除外）， 及 存在且 （3）

14、 存在或為無窮大，則有,一 兩個無窮小量之比的極限 （ 型）,3.1.4 羅必達法則,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必達法則 !,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求,解:,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: (1) n 為正整數(shù)的情形.,原式,機動 目錄

15、上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,,例如,,而,用洛必達法則,,,1)在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,,極限不存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2) 若,其他未定式:,解決方法:,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),例5. 求,解: 原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,解: 原

16、式,例6. 求,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例7. 求,解:,利用 例5,,,例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例8. 求,解:,注意到,～,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),洛必達法則,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,1. 設(shè),是未定式極

17、限 , 如果,不存在 , 是否,的極限也不存在 ?,舉例說明 .,極限,說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,洛必達(1661 – 1704),法國數(shù)學家,,他著有《無窮小分析》,(1696),,并在該書中提出了求未定式極,限的方法,,后人將其命名為“ 洛必達法,的擺線難題 ,,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,線 ” 問題 ,,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓,錐曲線的書 .,則 ”.,他在15歲時就解決了

18、帕斯卡提出,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,解:,原式 =,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、函數(shù)單調(diào)性和極值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、曲線的凹凸與拐點,,3.2函數(shù)性態(tài)的研究,第三章,3.2.1 函數(shù)單調(diào)性和極值1.函數(shù)的單調(diào)性,若,定理 1. 設(shè)函數(shù),則 在 (a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無妨設(shè),任取,由拉格

19、朗日中值定理得,故,這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在(a,b) 內(nèi)可導,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證畢,例1. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,,,,,,,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點.,例如,,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號, 則不

20、改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 證明,時, 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,,證,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,* 證明,令,則,從而,即,2 函數(shù)的極值及其求法,定義:,在其中當,時,,(1),則稱 為 的極大值點 ,,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極

21、小值點 ,,稱 為函數(shù)的極小值 .,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,為極大點,為極小點,不是極值點,2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或 不存在的點.,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如,為極大點 ,,是極大值,是極小值,為極小點 ,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 2 若函數(shù) f (x

22、) 在點 處有極值，且 存在，則,使 的點 稱為函數(shù)f (x)的駐點,定理 1 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導數(shù),,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導數(shù),2) 求極值可疑點,令,得,令,得,3) 列表判別,,,是極大點，,其極大值為,是極小點，,其極小值為,,,,機動 目錄

23、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2 (極值第二判別法),二階導數(shù) , 且,則 在點 取極大值 ;,則 在點 取極小值 .,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,不確定,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導數(shù),2) 求駐點,令,得駐點,3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,,,機動 目錄

24、上頁 下頁 返回 結(jié)束,下列命題是否正確？為什么？,(1) 若 ，則 x0是 f (x)的極值點；,(2) 若 f (x) 在 x0點取得極值，必有 ；,解 (1) 錯誤。如 f (x)＝x3 ，則 ，但f (x) 在 x0＝0點無極值。,(2) 錯誤。反例為 ，易知 f (x) ≥

25、f (0) ，即x0＝0 是 f (x)極值點，但 f (x)在x0＝0不可導。,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點或端點處達到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點,(2) 最大值,最小值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別:,當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,,當 在 上單調(diào)時,,最值必在端點處

26、達到.,若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的,可疑點是否為最大 值點或最小值點 .,(小),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.2.2 曲線的凹凸性與拐點 1 曲線的凹凸性 定義：如果一段曲線位于它上面任一點的切線上方， 我們就稱這段曲線是凹曲線；

27、 如果一段曲線位于它上面任一點的切線下方， 我們就稱這段曲線是凸曲線；,曲線的拐點：如果一條曲線既有凹的部分也有凸的部分， 那么這兩部分的分界點叫拐點。,,,,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;,(2) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .,,,設(shè)函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導數(shù),,例1. 判斷曲線

28、,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說明:,1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:,若曲線,或不存在,,的一個拐點.,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求曲線,的拐點.,解:,,,,,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,凹,凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回

29、 結(jié)束,例3. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,對應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,,向上凸 ,,點 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,凹,凹,凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 可導函數(shù)單調(diào)性判別,,在 I 上單調(diào)遞增,,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點的判別,,,拐點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考

30、與練習,上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,,及,B,1. 設(shè)在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點為,提示:,及,;,;,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有位于一直線的三個拐點.,1.求證曲線,證明：,備用題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,得,從而三個拐點為,因為,所以三個拐點共

31、線.,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明:,當,時，,有,證明:,令,, 則,是凸函數(shù),即,2 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(自證),內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點 :,使導數(shù)為0 或不存在的點,(2) 第一充分條件,過,由正變負,,為極大值,過,由負變正,,為極小值,(3) 第二充分條件,,為極大值,,為極小值,,,定理3 目錄 上頁 下頁

32、返回 結(jié)束,最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .,2. 連續(xù)函數(shù)的最值,3. 設(shè),是方程,的一個解,,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示:,A,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特點:,3.3 函數(shù)展為冪級數(shù),以直代曲,,,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問題,如何提高精度 ?,

33、如何估計誤差 ?,x 的一次多項式,,,3.3 .1 用多項式近似表示函數(shù),1. 求 n 次近似多項式,要求:,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,則,1.冪級數(shù),,常用的幾個函數(shù)的冪級數(shù)展開式,定義1： 給定數(shù)列 則表達式 叫做無窮級數(shù)（簡稱為級數(shù)）， 記為或

34、 或 。其中第n 項 叫做無窮級數(shù)的通項或一般項。,如果級數(shù)的每一項都是常數(shù)，這級數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù)；如果級數(shù)的每一項都是函數(shù)，這級數(shù)叫做函數(shù)項級數(shù)。,2. f (x)的冪級數(shù)展開式,函數(shù) f (x)在點x=0處的冪級數(shù)展開式,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中,,機動 目錄 上頁

35、下頁 返回 結(jié)束,類似可得,其中,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,已知,其中,類似可得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計算無理數(shù) e 的近似值,解:,令 x = 1 , 得,當 n = 9 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.,本例,若每項四舍五入到

36、小數(shù)點后 6 位,則,各項舍入誤差之和不超過,總誤差為,這時得到的近似值不能保證誤差不超過,因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,泰勒 (1685 – 1731),英國數(shù)學家,,他早期是牛頓學派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,,重要著作有:,《正的和反的增量方法》(1715),《線性透視論》(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,

37、,麥克勞林 (1698 – 1746),英國數(shù)學家,,著作有:,《流數(shù)論》(1742),《有機幾何學》(1720),《代數(shù)論》(1742),在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的,麥克勞林級數(shù) .,,試問,為何值時,,還是極小.,解:,由題意應(yīng)有,又,取得極大值為,備用題 1.,求出該極值,,并指出它是極大,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,試求,解:,2.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)