概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第5章new

1、第五章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,總體和樣本幾個常用的分布和抽樣分布,概率論中，隨機變量及其概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律.,概率分布已知,數(shù) 理 統(tǒng) 計,數(shù)理統(tǒng)計中，概率分布未知或不完全知道.,通過對所研究的隨機變量進行重復(fù)獨立的觀察，采集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，從而對變量的分布做出估計或推斷.,5.1 總體和樣本,從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機變量的分布。即一個具有確定概率分布的隨機變量。,一、總體 在數(shù)理統(tǒng)計

2、中，把所研究的對象的全體稱為總體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)，一般記為X。 把總體的每一個基本單位稱為個體。如全體在校生的身高X，某批燈泡的壽命Y。對不同的個體，X的取值是不同的。X是一個隨機變量或隨機向量。X或Y的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體的分布。為方便起見，我們將X的可能取值的全體組成的集合稱為總體，或直接稱X為總體。X的分布也就是總體的分布。,二、隨機樣本從總體X中抽出若干個個體稱為樣本，一般記

3、為(X1,X2,…,Xn)。n稱為樣本容量。而對這n個個體的一次具體的觀察結(jié)果——(x1,x2,…,xn)是完全確定的一組數(shù)值，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。(x1,x2,…,xn)稱為樣本觀察值。,如果樣本(X1,X2,…,Xn)滿足(1)代表性：樣本的每個分量Xi與X有相同的分布；(2)獨立性： X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量，則稱樣本(X1,X2,…,Xn)為簡單隨機樣本。,總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系,總體,,樣

4、本,,樣本觀察值,,？,理論分布,統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體。,設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布為,樣本的聯(lián)合分布律為,當(dāng)總體X是連續(xù)型時， X~f(x)，則樣本的聯(lián)合密度為,當(dāng)總體X是離散型時，其分布律為,例5.1 設(shè),(X1,X2,…,Xn

5、)為X的一個樣本，,求(X1,X2,…,Xn)的密度。,解 (X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，故,例5.2 設(shè)某電子產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，密度函數(shù),(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，求其密度函數(shù)。,解 因為(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，,例5.3 某商場每天客流量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求其樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律。解,三、統(tǒng)計量,樣本是我們進行分析和推斷的起點，但實際上我們并不直接

6、用樣本進行推斷，而需對樣本進行“加工”和“提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來，為此引入統(tǒng)計量的概念。,(X1,X2,…,Xn),,g(X1,X2,…,Xn),其中g(shù)(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的連續(xù)函數(shù)。如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知參數(shù)，稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量。（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）,如,未知，,(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本,不是統(tǒng)計量,若μ已知，σ2未知， (X1

7、,X2,…,X5)為X的一個樣本,幾個常用的統(tǒng)計量(P131)樣本均值,,樣本方差,,樣本均方差,樣本k階原點矩,,,,樣本k階中心矩,與總體矩比較P111,樣本均值的期望和方差：,樣本方差的期望：,是X的樣本，設(shè),5.3 幾個常用的分布和抽樣分布,(一) ?2—分布1、定義：設(shè)n個相互獨立的 X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n則,一、常用分布 ?2—分布、 t —分

8、布和F—分布。,稱為自由度為n的?2分布。,n個相互獨立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和服從?2(n)。,?2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線,2、性質(zhì)(1),(2) ?2分布的可加性,X1,X2 相互獨立，則X1+X2 ~?2(n1+n2),例5.4,(X1,X2,X3)為X的一個樣本,求,的分布。,解 因為(X1,X2,X3)為X的一個樣本,，i=1,2,3,則,i=1,2,3,3、?2分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成 P{

9、?2(n)>λ}=p，已知n,p可查表(P298)求得λ;(2)有關(guān)計算,λ,水平為 的上側(cè)分位數(shù)分位點,,p,eg1.求解：,1、定義 若X~N(0, 1)，Y~?2(n)，X與Y獨立，則,t(n)稱為自由度為n的t—分布。,(二) t—分布,例5.5,(X1,X2,X3)為X的一個樣本，求,的分布,i=1,2,3,t(n) 的概率密度為,2、基本性質(zhì): (1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱；(2) f(t)的

10、極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即,3、t分布表(P296)及有關(guān)計算(1)構(gòu)成： P{t(n)>λ}=p(2)有關(guān)計算P{t(n)> tp(n)}=p，tp(n)為水平p的上側(cè)分位數(shù),,p,注:,(三) F—分布,1、定義 若X~?2(n1)，Y~?2(n2) ，X,Y獨立，則,稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F—分布，其概率密度為,例5.6 (X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~N(0,σ2

11、)的樣本求統(tǒng)計量,的分布,解,2、 F分布表(P294)及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：P{F(n1,n2)>λ}=p(2)有關(guān)計算P{F(n1,n2)>λ}=pλ=Fp(n1,n2)性質(zhì)：,,p,抽樣分布,總體分布類型已知, 但含有未知參數(shù). 對總體的未知參數(shù)或總體的數(shù)字特征進行統(tǒng)計推斷, 稱為參數(shù)統(tǒng)計推斷.抽樣分布: 構(gòu)造合適的統(tǒng)計量, 使其服從或漸近服從已知分布，泛稱統(tǒng)計量分布為抽樣分布.小樣本統(tǒng)計推斷和大樣本統(tǒng)

12、計推斷.,二、正態(tài)總體的抽樣分布定理,證明,組合，故服從正態(tài)分布。,1、若,則,是n 個獨立的正態(tài)隨機變量的線性,2、設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則 (1),(2),(3),與S2獨立,P143~144定理1，2,例5.7. 設(shè)X1， … ，X10是取自N（2，16)的樣本, 求a及樣本方差的期望與方差解：,例5.8. 設(shè)X1，X2, … ，X8 是取

13、自N(1,9)的樣本,求樣本方差S2的期望與方差。解：,3、設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則,證明 (X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則由分布定理1、2可知,與S2獨立,且,所以由t分布的定義，可知,4、(雙正態(tài)總體的抽樣分布)設(shè)(X1,X2,…,Xn1)是N(μ1,σ12)的樣本，(Y1,Y2,…,Yn2)是N(μ2,σ22)的樣本，且相互獨立，S12，S22是樣本方差，則(