原函數(shù)與導函數(shù)的關系

1、課題：探究原函數(shù)與導函數(shù)的關系課題：探究原函數(shù)與導函數(shù)的關系首師大附中首師大附中數(shù)學組數(shù)學組王建華王建華設計思路設計思路這節(jié)課是在學完導數(shù)和積分之后，學生從大量的實例中對原函數(shù)和導函數(shù)的關系有了一定的認識的基礎上展開教學的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有，但數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學生拾級而上，最終

2、登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導學生進行一次理論的探險，大膽地猜，小心地證，謹慎地修改條件，步步逼近真理。最終學生能否記住這些結(jié)論并不重要，重要的是研究相互關聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學的學生來說會有更多的收獲。整個教學流程整個教學流程1.從經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)，猜想得命題pq.這兩個命題為真命題，證明它們的方法用復合函數(shù)求導，比較容易上手。2.學生自然會想到這個命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路

3、也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關于y軸對稱的性質(zhì)能夠保持，但關于原點對稱的性質(zhì)就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對稱性，因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為關于中心對稱，將偶函數(shù)的性質(zhì)拓展為關于直線對稱，研究前面的四個命題還是否成立。研究方法可以xa?類比遷移前面的方法。能成立的嚴格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應用：利用二次函數(shù)的對稱性性質(zhì)研究三次函

4、數(shù)的對稱性。教學目標教學目標在這個探究過程中1.加強學生對導函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關系的理解；2.增強學生對函數(shù)對稱性的理解和抽象概括表達能力；3體驗研究事物的角度，一個新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認識了一個事物。4.培養(yǎng)學生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學重點教學重點以原函數(shù)與導函數(shù)的對稱性的聯(lián)系為載體讓學生體驗觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學難點教學難點靈活運用所學知識探索未知領域。新課引入前面

5、解題時我們常根據(jù)導函數(shù)的符號示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖，你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導函數(shù)的示意圖嗎？一探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導函數(shù)的奇偶性。若將理解將中的替換為得到的函數(shù)，可以用導數(shù)定義證明。()fx?()fxxx?證明：當是奇函數(shù)時對定義域中的任意都有()yfx?x()fx?000()()()()()()()limlimlimxxxfxxfxfxxfxfxfxxfxxxx?????????????????????????所以時

6、偶函數(shù)()yfx?分析2.用復合函數(shù)求導證明：當是奇函數(shù)時，對定義域中的任意都有()yfx?x()()fxfx???兩邊對求導得，即x[()][()]fxfx???()(1)()fxfx?????得，所以時偶函數(shù)()()fxfx??()yfx?命題q同理可證.思考：看來已知原函數(shù)的奇偶性，我們可以確定導函數(shù)的奇偶性，那么已知導函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二探究由導函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性

7、。二探究由導函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題問題4p和q的逆命題是否成立？的逆命題是否成立？p的逆命題：若是偶函數(shù)，則奇函數(shù)()yfx?()yfx?此命題不正確，可舉出反例：如是奇函數(shù)，而原函數(shù)()yfxx??21()2yfxxc???當c不為0時，原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢？因為原函數(shù)定了，導函數(shù)是唯一確定的，而同一個導函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個。一個函數(shù)向上或向下平移后導函數(shù)是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)