概率論1-1、2

1、1,第一章 概率論的基本概念第一次課,隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件,2,確定現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生；隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下結(jié)果不確定；統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察 中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性就是統(tǒng) 計(jì)規(guī)律性；概率論：研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.,在概率論里我們把對(duì)現(xiàn)象的觀察，稱為試驗(yàn),3,§1 隨機(jī)試驗(yàn),1.定義:如果一個(gè)試驗(yàn)具有如下三個(gè)特點(diǎn)，稱之為隨機(jī)試驗(yàn) （1）可

2、以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行； （2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； （3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。2.隨機(jī)試驗(yàn)的例子 E1：拋一枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況； E2：將一枚硬幣拋兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況； E 3：將一枚硬幣拋兩次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)； E4：一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命。,4,樣本空間、隨機(jī)事件,1.定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能

3、結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S. S中的元素稱為樣本點(diǎn).2.舉例 E1至E4的樣本空間分別為 S1：{H, T} S2：{HH,HT,TH,TT} S3：{0, 1, 2} S4：{t| t≥0},一、樣本空間,5,二、隨機(jī)事件,1.定義： ⑴：試驗(yàn)E的樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.通常用A、B、C……表示. ⑵：在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)事件中的一 個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)，稱

4、該事件發(fā)生。 ⑶：單個(gè)樣本點(diǎn)組成的事件稱為基本事件. ⑷：樣本空間S稱為必然事件. ⑸：空集Ø稱為不可能事件.,6,事件的例子,在E2中，若A1表示：第一次出現(xiàn)正面；A2 表示：兩次出現(xiàn)正面；A3 表示第一次出現(xiàn)正面或反面；A4 表示：第一次不出現(xiàn)正面，也不出現(xiàn)反面，則 A1={HH, HT}； A2={HH}，為基本事件； A3=S2，為必然事件；

5、 A4=Ø，為不可能事件.,7,2.隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算,⑴,稱事件B包含事件A，A發(fā)生必有B發(fā)生.,⑵ A∪B 稱為A、B的和事件，表示A、B至少有一個(gè)發(fā)生,稱為A1,…,An的和事件，表示A1,…,An至少有一個(gè)發(fā)生. n為無窮大時(shí)，同樣定義.,A∪B,8,⑶ A∩B或?qū)懗葾B,稱為A,B的積事件，表示A、B同時(shí)發(fā)生,同樣可定義,⑷,,稱為A、B的差事件，表示A發(fā),生而B不發(fā)生.,,S,,,AB,A,B,,S,B

6、,,A－B,A,AB,9,⑸若AB＝Ø，稱A、B互不相容（互斥），表示A、B不能同時(shí)發(fā)生?；臼录蓛苫ゲ幌嗳?。,常用結(jié)論：,,AB＝φ,⑹若A∪B＝S，AB＝Ø，稱A、B互為逆事件（對(duì)立事件），記為 ， 表示A不發(fā)生.,10,隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律：,交換律：A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A結(jié)合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C

7、 A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）德.摩根律（對(duì)偶律）：,11,小結(jié)：,基本概念：隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 事件事件就是一個(gè)集合，事件之間的關(guān)系和運(yùn)算遵循集合間的關(guān)系和運(yùn)算。會(huì)用概率論的語言解釋事件之間的關(guān)系，如：A∪B表示A、B至少有一個(gè)發(fā)生。會(huì)用簡單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件。,12,第

8、一章 隨機(jī)事件和概率,第二次課,頻率與概率概率的定義與性質(zhì)古典概型幾何概型,13,一、頻率,1.定義：事件 在 次重復(fù)試驗(yàn)中，發(fā)生 次，比值 稱為 的頻率。記為2.頻率的基本性質(zhì)： ⑴ ⑵ ⑶ 若 是兩兩互不相容的事件，則,§2 概率及常見模型,試驗(yàn)表明，隨著 的增加，頻率會(huì)穩(wěn)定于某值,1.定義：事件 在 次重復(fù)試驗(yàn)

9、中，發(fā)生 次，比值 稱為 的頻率。記為,14,二、概率,1.定義：試驗(yàn)E的樣本空間為S，對(duì)于E的每個(gè)事件A賦予一實(shí)數(shù)，記為 ，若集合函數(shù) 滿足下列條件，則稱 為A的概率。 ⑴ 非負(fù)性： ≥0 ⑵ 規(guī)范性： ⑶ 可列可加性：對(duì)可列個(gè)兩兩互不相容的事件 有,可以證明：概率

10、 就是頻率 的穩(wěn)定值,15,2.概率的性質(zhì),⑴ P（Ф）＝0 證明略⑵有限可加性：若 兩兩互不相容，則,⑶,推論：若,⑷,⑸,16,⑹加法公式：,證：,推廣：,17,（7）半可加性：,由加法公式及概率的非負(fù)性易得.,18,解,故,19,§2.2 古典概型（等可能概型）,一、定義：若E滿足 ⑴樣本空間S中只有有限個(gè)元素；

11、 ⑵每個(gè)基本事件發(fā)生的可能相同. 稱E為古典概型.例：拋一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若骰子是均勻的，可認(rèn)為是古典概型；否則，不能認(rèn)為是古典概型。,20,二、古典概型概率的計(jì)算公式：,21,三、古典概型的例子,例2：將一枚硬幣拋擲3次，設(shè)A1表示恰有一次出現(xiàn)正面，A2表示至少有一次出現(xiàn)正面，求,解：,22,例3：同時(shí)拋擲兩顆均勻骰子，求兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同的概率。,解：,分別表示兩顆,骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).,S 中有36

12、個(gè)元素,設(shè)A表示兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同，則,23,例4：設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品。從中不放回地任取n件，問恰取到k件次品的概率是多少？,解：從N件產(chǎn)品中任取n件，共有,種取法，,故可認(rèn)為樣本空間共有,個(gè)元素。,取到k件次品,共有,種取法，相當(dāng)于所求事件含有,個(gè)元素，故所求事件的概率,24,例5 袋中有4只白球和2只紅球，從中任取兩球，分別采用放回抽樣和不放回抽樣，求取到的兩球顏色不同的概率。,解,設(shè)A 表示取到的兩球顏色不同.,⑴

13、放回抽樣,⑵不放回抽樣,則稱這種試驗(yàn)為幾何概型.,若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：,一、定義,2.3 幾何概型,(1) 它的樣本空間有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)；,(2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.,假設(shè) S 是直線上的一線段、平面或空間的有界區(qū)域， L(S)表示其幾何度量（長度、面積、體積）。,考慮隨機(jī)試驗(yàn)：向 S 上投擲一質(zhì)點(diǎn)，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)落到 S 中任一點(diǎn)都是等可能的，但不可能落到 S 之外，則質(zhì)點(diǎn)落入 S 中任何區(qū)域 A 的可能性只與其幾何度量L

14、(A)有關(guān)，并與之成正比。,從而對(duì) S 中的任何區(qū)域A，考慮事件A={質(zhì)點(diǎn)落于區(qū)域A}，則,,例(P29第21題) 兩人約定上午9:00-10:00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率。,解：建立如圖所示坐標(biāo)系,分別用X、Y表示兩人到達(dá)時(shí)間，,則（X，Y）可視為向右圖中的正方形S內(nèi)隨機(jī)投擲的點(diǎn)的坐標(biāo)，,事件A={|X-Y|>30}表示等待時(shí)間超過半小時(shí),從而所求概率為,28,小結(jié),1.概率是頻率的穩(wěn)定值；是事件發(fā)生的可能