概率論習(xí)題2

1、一、離散型隨機(jī)變量的分布列,二、常見離散型隨機(jī)變量的分布列,三、小結(jié),第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量 及其分布列,,,,,引入分布的原因,以認(rèn)識離散隨機(jī)變量為例, 我們不僅要知道 X 取哪些值,而且還要知道它取這些值的概率各是多少,這就需要分布的概念.有沒有分布是區(qū)分一般變量與隨機(jī)變量的主要標(biāo)志.,,這個就是隨機(jī)變量X 的概率分布。,引例：從盒中任取3 球， 記 X 為取到白球數(shù)。則 X 是一隨機(jī)變

2、量。,X 可能取的值為: 0, 1, 2。,取各值的概率為,且,一、離散型隨機(jī)變量的分布列,定義,,離散型隨機(jī)變量的分布列也可表示為,,隨機(jī)變量X 的概率分布列,引例：從盒中任取3 球， 記 X 為取到白球數(shù)。則 X 是一隨機(jī)變量。,X 可能取的值為: 0, 1, 2。,分布列的性質(zhì),任一離散型隨機(jī)變量的分布列,都具有下述兩個性質(zhì)：,用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律,例題1： 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為,試確定常數(shù)a.,,,練習(xí)

3、題一,例2：某籃球運動員投中籃筐概率是0.9，求其兩次獨立投籃后，投中次數(shù) X 的概率分布。,解：X 可取的值為 ：0, 1, 2，且,P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01，,P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,,P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .,,X 的概率分布,練習(xí) 設(shè)袋中裝有6個球，編號為{1,1,2,2,2,3}，從袋中任取一球，記取到的球的編號為X，求：（1）X 的分

4、布列；（2）編號大于1的概率．,,,X 的分布列為:,,練習(xí) 設(shè)袋中裝有6個球，編號為{1,1,2,2,2,3}，從袋中任取一球，記取到的球的編號為X，求：（1）X 的分布列；（2）編號大于1的概率．,,一袋中有5個乒乓球，編號分別為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)抽取3個，以X表示取出的3個球中最大的號碼，求X的分布列．,,,練習(xí)題二,實例1 “拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.,二、幾個重要的離散型隨機(jī)變量及其分布列,1、兩點分

5、布（也稱（0-1）分布）,1、兩點分布（也稱（0-1）分布）,凡試驗只有兩個結(jié)果, 常用0 – 1分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標(biāo)等等.,0 < p < 1,記為 X～B(1, P)。,定義：設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為,則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點分布.,練習(xí) 200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那么,若規(guī)定

6、,則隨機(jī)變量 X 服從(0 -1)分布.,X 的分布列為:,2. 二項分布,產(chǎn)生背景：n 重伯努利試驗,二項分布定義：,記為,練習(xí)：某射手每次射擊時命中10環(huán)的概率為 p, 現(xiàn)進(jìn)行 4 次獨立射擊，求 恰有 k 次命中10環(huán)的概率。,解：用X 表示 4 次射擊后, 命中10環(huán)的次數(shù), 則,X 的概率分布為,例4 某特效藥的臨床有效率為75%，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？,,,,例5 某服裝商店經(jīng)理根據(jù)以往經(jīng)驗估計每

7、名顧客購買服裝的概率是0.25，在10個顧客中有3個及3個以上顧客購買服裝的概率是多少？最可能有幾個顧客購買服裝？,,練習(xí) ：某類燈泡使用2000小時以上視為正品。已知有一大批這類的燈泡,次品率是0.2。隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗,求這20只燈泡中恰有3只是次品的概率。,解: 設(shè)X為20只燈泡中次品的個數(shù)，則,X ~ B (20, 0.2)，,定義： 設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為: 0, 1, 2,…, 概率分布為：,3. 泊松分

8、布,其中λ>0 是常數(shù)， 則稱 X 服從參數(shù)為λ的泊松分布, 記作 X ～ P(λ) 。,易見滿足,,驗證：,非負(fù)性,規(guī)范性,例6： 某商店根據(jù)過去的銷售記錄,總結(jié)出某種商品每月的銷售量可以用參數(shù)為 的泊松分布來描述,試求：,(1)下個月該商店銷售2件此種商品的概率是多少？,,銷售2件產(chǎn)品的概率為,例6某商店根據(jù)過去的銷售記錄,總結(jié)出某種商品每月的銷售量可以用參數(shù)為 的泊松分布來描述,試求：,(2)下個月該商店銷

9、售此種商品多于2件的概率是多少？,,例6某商店根據(jù)過去的銷售記錄,總結(jié)出某種商品每月的銷售量可以用參數(shù)為 的泊松分布來描述,試求：,(3)為了以95%以上的概率保證不脫銷? 問商店在月底應(yīng)存多少件該種商品？,,復(fù)習(xí)總結(jié)：隨機(jī)變量的分類,離散型,隨機(jī)變量,,連續(xù)型,隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個, 叫做離散型隨機(jī)變量.,隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.,離散型隨機(jī)變量的分布律,(1)定義

10、,,(2)說明,設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為,則稱 X 服從(0-1)分布或兩點分布.,兩點分布,稱這樣的分布為二項分布.記為,兩點分布,二項分布,泊松分布,練習(xí)：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù) ?=3 的泊松分布。求： (1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率； (2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。,解:,= [ (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) ]

11、e-3 ≈ 0.7169.,(1). P{X=3} = p(3; 3) = (33/3!)e-3 ≈ 0.2240；,(2). P{2≤X≤5},= P{X=2} + P{X=3} + P{X=4} + P{X=5},例題：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù) ?=3 的泊松分布。求： (1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率； (2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。,解（1）,=0.2240（查表）,（2）,泊松

12、定理,數(shù),,有,,解：設(shè)1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則,可用泊松定理計算,所求概率為,練習(xí) 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?,例9 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人, 現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下

13、一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?,解,故有,例9 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人, 現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?,在某個時段內(nèi)：,大賣場的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次

14、數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).,①②③④⑤,一個容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；,一匹布上的疵點個數(shù)；,⑥⑦⑧,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,4. 幾何分布（了解）,從一批次品率為p(0<p<1）的產(chǎn)品中逐個隨機(jī)抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，驗后放回再抽取下一件，直到抽到次品為止，設(shè)檢驗的次數(shù)為X, 則X可能取值為1，2，3….,其概率分布為：,稱這種概率分布為幾何分布,例7 一