概率論 2

1、1,客觀現(xiàn)象,確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象,在一定條件下,必然會出現(xiàn)某種確定的結(jié)果,在一定條件下,可能會出現(xiàn)不同的結(jié)果,概率統(tǒng)計——研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支.,緒　論,2,確定性現(xiàn)象的例子：,水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到攝氏 100 ℃必然會沸騰.重物在高處總是垂直落在地面.隨機現(xiàn)象的例子：拋一枚硬幣,結(jié)果可能出現(xiàn)正面朝上,也可能出現(xiàn)反面朝上,事前不能肯定.,例：為了保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，

2、各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01．在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理．問：至少要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于0.01?,4,隨機現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出來的規(guī)律性叫作隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.如拋硬幣試驗,次數(shù)增多時,出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)差不多.概率統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科．,第一章 隨機事件的概率,5,§1 隨機試驗與隨機事件,在一定條件

3、下,對某種自然現(xiàn)象進行的觀察、測試、實驗等,統(tǒng)稱試驗.若試驗“在相同條件下可重復(fù)進行”,而且每次試驗結(jié)果事前不可預(yù)言,但卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性,稱為隨機試驗. 隨機試驗的每一個可能結(jié)果稱為隨機事件,簡稱為事件,記為A,B,C…等.,6,隨機試驗 的特點：可在相同條件下重復(fù)進行；每次試驗結(jié)果可能不止一個，但事先能明確所有可能結(jié)果；進行一次試驗之前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn).,例: 在0,1,2, …,9中任取一個數(shù)字,“取得的數(shù)是0”,

4、…,“取得的數(shù)是9”“取得的數(shù)是奇數(shù)”“取得的數(shù)是3的倍數(shù)”等不可能再分的事件稱為基本事件；由若干基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件.,7,一個事件是否稱為基本事件是相對于試驗的目的來說的.例: 擲骰子猜點數(shù), 則基本事件有6個: 1點, 2點, …,6點若猜大小(1點,2點,3點為小,4點,5點,6點為大),則基本事件只有2個: 大,小,8,9,隨機事件的關(guān)系與運算,必然發(fā)生的事件稱為必然事件,記為Ω;必然不發(fā)生的事件稱為

5、不可能事件,記為Φ.例如:擲骰子, “點數(shù)小于7”是必然事件, “點數(shù)大于7”是不可能事件.若兩個事件A與B不可能同時發(fā)生,則稱A與B互不相容.“點數(shù)為1”與“點數(shù)為2”互不相容.,10,隨機事件的關(guān)系與運算,3. 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件A含于事件B(或稱事件B包含事件A),記為A?B.例: A=“點數(shù)為1” B=“點數(shù)為奇數(shù)” A?B對任一事件A, A?Ω.規(guī)定Φ?A.,11,隨機事件的關(guān)系

6、與運算,3. 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件A含于事件B(或稱事件B包含事件A),記為A?B.注: A?B?事件B不發(fā)生,則A必然不發(fā)生. 若A?B且B?A,則稱A與B相等(或等價),記為A=B.,12,隨機事件的關(guān)系與運算,4. 若事件C表示“事件A與B中至少有一個發(fā)生”,則稱事件C為事件A與B的并(或和),記為C=A∪B.A=“點數(shù)為偶數(shù)”,B=“點數(shù)大于3”A∪B={點數(shù)為2,4,5,6中一數(shù)},13,隨

7、機事件的關(guān)系與運算,5. 若事件D表示“事件A與B同時發(fā)生”,則稱事件D為事件A與B的交(或積),記為D=A∩B(或AB).A=“點數(shù)為偶數(shù)”,B=“點數(shù)大于3”A∩B={點數(shù)為4或6}(1)對任一事件A, AΦ=Φ, AΩ=A, AA=A.(2)若A1,A2互不相容,則A1A2=Φ.(3)AB?A(B)?A∪B.,14,隨機事件的關(guān)系與運算,6. 若事件E表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”,則稱事件E為事件A與B之差,記為E=

8、A-B.A=“點數(shù)為偶數(shù)”,B=“點數(shù)大于3”A-B={點數(shù)為2}Ω-A稱為A的逆事件,記為 (表示A不發(fā)生)A=“點數(shù)為偶數(shù)” =“點數(shù)為奇數(shù)”,樣本空間,對于事件及其運算,若應(yīng)用點集的概念和幾何圖示法,則較直觀. 對于隨機試驗的每一個基本事件,用一個只包含一個元素ω的單點集{ω}表示. 由所有基本事件對應(yīng)的全部元素組成的集合稱為樣本空間,記為Ω. 樣本空間中每一個元素稱為樣本點.問: 樣本點是基本事

9、件嗎?,15,16,隨機事件的關(guān)系與運算,17,事件的運算律交換律：A∪B=B∪A, AB=BA結(jié)合律：(A∪B)∪C= A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)分配律：(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB) ∪ C=(A∪C)(B∪C),ABC,18,德.摩根律：,19,例: 拋一枚硬幣3次,觀察各次正、反面情況,設(shè)A為“第一次出現(xiàn)正面”,B為“3次出現(xiàn)同一面”,求A∪B,AB,A-B,,例：向指定目標(biāo)射3槍，Ai 為

10、“第i槍擊中目標(biāo)” i=1,2,3, 試用A1 ,A2 ,A3表示下列事件: (1)只擊中第1槍; (2)只擊中1槍; (3) 3槍均未擊中; (4) 至少擊中1槍.,20,例：設(shè)A為“信號燈亮”，Bi為“開關(guān)i閉合”，則A=B1∩(B2∪B3) =(B1B2)∪(B1B3),21,22,§2、隨機事件的概率,要想對事件發(fā)生的可能性進行確切的推斷,我們要求有一個刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo),滿

11、足:具有客觀性;符合一般常情.我們把刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱為事件的概率,事件A的概率記為P(A),規(guī)定0≤P(A)≤1.,23,§2、隨機事件的概率,概率—事件可能性大小的度量一、頻率方法 對E作n次重復(fù)試驗，其中事件A出現(xiàn)m次，稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱 為事件A發(fā)生的頻率。,頻率—衡量事件發(fā)生的頻繁程度,24,頻率具有波動性, 如“拋硬幣”試驗，將一枚硬幣拋n次,正面

12、出現(xiàn)的頻數(shù)m,頻率m/n：,,25,頻率的波動性隨n增大而減小:,26,考慮在相同條件下進行的S 輪試驗.當(dāng)各輪試驗次數(shù)n1,n2,…,ns 充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率之間相差甚微 .,穩(wěn)定在概率 p 附近,頻率又具有穩(wěn)定性,當(dāng)n→∞時,fn(A)= m/n →p(穩(wěn)定于p),則稱p為事件A的概率。,27,在實際中，當(dāng)某事件的概率不易求出時，人們常取實驗次數(shù)很大時該事件的頻率作為概率的估計值，此即——頻率方法.,頻率又具

13、有穩(wěn)定性,28,第一個科學(xué)地揭示其中奧秘的,是世界數(shù)學(xué)史上著名的伯努利家族的雅各· 伯努利(Bemoulli，Jacob 1654～1705).從17 世紀(jì)末到18 世紀(jì),這個家族的三代人,出了8 位杰出的數(shù)學(xué)家.雅各是其中最負(fù)盛名的一位.他的數(shù)學(xué)幾乎是靠自學(xué)成才的.,頻率又具有穩(wěn)定性,29,第一個科學(xué)地揭示其中奧秘的,是世界數(shù)學(xué)史上著名的伯努利家族的雅各· 伯努利(Bemoulli，Jacob 1654～1705)

14、.從17 世紀(jì)末到18 世紀(jì),這個家族的三代人,出了8 位杰出的數(shù)學(xué)家.雅各是其中最負(fù)盛名的一位.他的數(shù)學(xué)幾乎是靠自學(xué)成才的.但由于他的才華和造詣,從33 歲到逝世的18 年時間里,一直受聘為巴塞爾大學(xué)教授.,頻率又具有穩(wěn)定性,頻率又具有穩(wěn)定性,他的名著《推測術(shù)》是概率論中的一個豐碑.書中證明了極有意義的大數(shù)定律.這個定律說明：當(dāng)試驗次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率和概率有較大偏差的可能性很小.因此可用頻率來估計概率.這個定律使伯努利的姓

15、氏永載史冊.,30,31,二、古典方法適用于: ①樣本點個數(shù)有限; ②每個基本事件發(fā)生是等可能性的具有以上兩個特點——古典概型,32,擲骰子,觀察得點數(shù)Ω1={1,2,3,4,5,6 } 擲骰子,觀察得奇數(shù)點還是偶數(shù)點 Ω2={奇數(shù)點，偶數(shù)點}拋一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)次數(shù)Ω3={0,1,2,3 }拋一枚硬幣3次,觀察各次正、反面情況 Ω4={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,T

16、TH,TTT}第1,2,4種情況是古典概型.,33,古典概率： 設(shè)E為等可能概型，其樣本空間Ω共含有n個基本事件，其中A包含的基本事件有k個，則,A 的概率,如“拋一枚硬幣，正面朝上的概率為1/2”“擲一枚骰子，得6點的概率為1/6”,34,例 設(shè)某號碼鎖開鎖號為372，一人不 知號碼，問一次開鎖的概率。解：E:“任意轉(zhuǎn)出一個3位數(shù)，看為幾” 基本事件數(shù)n=103, 其中屬于A:“一次開鎖”的只有１件

17、，∴P(A)=1/n=0.001計數(shù)方法: 分類用加法; 分步用乘法; 有序用排列; 無序用組合.,35,例（生日問題）假設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，即都等于1/365，那么隨機抽取 n（n≤365）人，設(shè)A：至少有2人生日相同, 求P(A).,經(jīng)計算可得下述結(jié)果：,例: 將3封不同的信隨機裝入3個寫有不同地址的

18、信封,求至少有一封信放對信封的概率.例：擲兩枚骰子，求它們的點數(shù)之和小于7的概率.窮舉法: 樣本點數(shù)較少時使用,36,例: 10個球中有6個紅球4個白球, 10個人依次取1球,取后不放回, 求第5個人取到紅球的概率.抽簽原理: n枝簽n個人依次抽取, 取后不放回, 抽到好(壞)簽與次序無關(guān).,37,38,三、幾何方法 向區(qū)域G中任投一點，假設(shè)此點落在G中任一點位置等可能，g G ，則定義此點恰落在g內(nèi)

19、的概率,測度—體積、面積、長度等,,,幾何概率適用范圍: 樣本點無限多個; 樣本點均勻分布.,39,40,例 均勻陀螺的圓周上均勻地刻著區(qū)間[0,3)上的諸數(shù)字．旋轉(zhuǎn)它，求陀螺停下時，其圓周與桌面接觸點刻度恰好位于［1/2,2］的概率．解：設(shè)圓周長為aP= [1/2,2］的長度／[0,3)的長度 =(a/2) /a=1/2,41,例 約會問題:２人約定在時間［０,T］ 內(nèi)會面,２人在

20、這段時間內(nèi)哪一刻到等 可能，約定先到者等候T/4,求２人見到面的概率．,P=7/16,42,1933年，前蘇聯(lián)，柯爾莫哥洛夫提出概率的公理化定義,概率—事件可能性大小的度量,43,四、概率的公理化體系定義：設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間,A為Ω的子集(隨機事件),集合函數(shù)P(A)滿足:1、非負(fù)性：對于每個事件A有P(A) ≥0；2、規(guī)范性：P(Ω) =1；P(Ø)=0;3、可列可加性：若隨機事件A1,A2,…,Ak,

21、… 兩兩互不相容（AiAj=Φ, i≠j）則有P(A1+A2+…+Ak+…) =P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+…則稱P(A)為事件A的概率．,推論：P( )=1-P(A);,44,§3、概率的計算公式,一、加法公式：,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),45,例 10個球中6個紅球4個白球，每次取1球，取后不放回。求：（1）第3次才取到紅球的概率；（2）第3次取到紅球的概率；（3）3次中至少

22、有一次取到紅球的概率。,46,例 證明3個事件的加法公式：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)特點：加奇減偶,47,推論：若B?A,則P(A-B)=P(A)-P(B) ;,P(A-B)=P(A)-P(AB),二、減法公式：,48,三、條件概率與乘法公式,“事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”記為B|A,,定義：設(shè) A、B是兩個事件且P(A)&

23、gt;0,稱 P(B|A)=為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。,49,乘法公式 設(shè)P(A)>0，則有 P(AB)=P(A)P(B|A).推廣: P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),P(AB)>0.P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An |A1A2…An-1)

24、 n≥1, P(A1A2…An-1)>0,50,例 n個球中有n-1個紅球1個白球，每次從中任取1個，取后放回1個紅球，求第k次取到紅球的概率。計算條件概率方法：（1）考慮條件，化為無條件概率；（2）用公式P(B|A)=,51,四、全概率公式 設(shè)Ω為試驗E的樣本空間B1,B2,…,Bn為Ω的子集，且滿足： (1) B1,B2,…,Bn 兩兩互不相容； (2) B1∪B2∪…∪Bn= Ω ，則稱B1

25、,B2,…,Bn為互不相容的完備事件組,全概率公式：設(shè),B1,B2,…,Bn為互不相容的完備事件組, P(Bk)>0 (k=1,2,…,n), A為E的事件, 則P(A)= P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + …+P(Bn)P(A|Bn)關(guān)鍵：構(gòu)造完備事件組,52,53,例：盒中有6個新乒乓球，每次比賽從中任取2個，用后放回，求第3次比賽取到2個新球的概率。解：設(shè)Ai={第2次比賽取到i個新球}，i

26、=0,1,2 B={第3次比賽取到2個新球},例：每箱產(chǎn)品有10件，其中次品數(shù)從0到2是等可能的，從中任取1件，若檢驗為次品，則認(rèn)為該箱不合格。由于檢驗誤差，1件正品被判為次品的概率為2﹪，1件次品被判為正品的概率為10﹪，求該箱產(chǎn)品合格的概率。,54,注: 全概率公式是解決復(fù)雜概率計算的重要工具!,55,五、貝葉斯公式設(shè)B1,B2,…,Bn為互不相容的完備事件組, A為事件,P(Bk)>0 (k=1,2,…

27、,n), P(A) >0 , 則,k=1,2,…,n,P(Bk|A) 稱為驗后概率P(Bk) 稱為驗前概率Bayes公式可以由驗前概率推算驗后概率,56,例：玻璃杯20個一箱，箱中有0，1，2件次品的概率分別為0.8，0.1，0.1. 某顧客從中任取4個，若無次品，則買下該箱.求：（1）買下該箱的概率； （2）買下的一箱中確無次品的概率.,57,58,例 伊索寓言“孩子與狼” 小孩每天到山上放羊

28、，山里有狼出沒。第一天，他在山上喊：“狼來了！狼來了”，山下的村民聞聲便去打狼，可到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩次他說了謊，人們不再相信他了。,59,設(shè)A為“小孩說謊”，B為“小孩可信”,不妨設(shè)村民過去對這個小孩的印象為,第一次村民上當(dāng)后，對這個小孩的可信程度由0.8降為0.444,第二次村民上當(dāng)后，對這個小孩的可信程度下降到0.138,60,§4 事件

29、的獨立性,定義：若P(AB)= P(A)P(B)，則稱事件 A、B（相互）獨立.,B的發(fā)生促進了A的發(fā)生,B的發(fā)生阻礙了A的發(fā)生,B的發(fā)生不影響A的發(fā)生,√,若P(A|B)=P(A), 則乘法公式變?yōu)?P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)=P(A)P(B|A),A. P(B|A)>0 B. P(A|B)=P(A)C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(

30、B),61,1. 設(shè)A、B為互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,A. P(B|A)>0 B. P(A|B)=P(A)C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B),,2. 設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,,,,區(qū)別： A，B獨立與A，B互不相容,62,定理 若事件 A，

31、B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：,設(shè)P(A)>0,P(B)>0,若A,B互斥,問A,B是否獨立?注: P(A)>0,P(B)>0,互斥不獨立?獨立不互斥,2. 設(shè)P(A)>0,P(B)0,P(B)<1,包含不獨立?獨立不包含3.若P(B)=0,問A與B是否獨立? 若P(B)=1,問A與B是否獨立?注:Φ與A的關(guān)系:獨立,互斥; Ω與A的關(guān)系:獨立,包含;,63,64,例 從

32、一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},可見, P(AB)=P(A)P(B),P(A)=4/52=1/13,,所以事件A、B獨立.,問事件A、B是否獨立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,65,多個事件的獨立性,定義 若P(AB)=P(A)P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B)P(C),P(AB

33、C)= P(A)P(B)P(C),則稱事件A,B,C相互獨立.,相互獨立,兩兩獨立,,66,推論:(1)若事件 A1,A2,…,An相互獨立,則其中任意k(2≤k≤n)個事件也相互獨立。 (2)若A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立，則將其中任意多個事件換成各自的對立事件，所得n個事件仍相互獨立。,多個事件的相互獨立性： 若A1,A2,…,An(n≥2)中任意k (k=2,3,…,n)個事件的積事件的概率

34、都等于各事件概率之積，則稱事件A1,A2,…,An相互獨立。,67,,例 擲兩枚硬幣, A1={第一個正面}, A2={第二個正面}, A3={正反各一個}, 問: A1, A2, A3是否相互獨立? 是否兩兩獨立?,例 設(shè)每枝步槍射擊飛機命中的概率為0.004,求250枝步槍同

35、時獨立地進行一次射擊時擊中飛機的概率.問: 要以0.99的概率擊中飛機,則需要多少枝步槍?,68,小概率原理:,概率很小的事件在一次試驗中幾乎不可能出現(xiàn);概率很小的事件在次數(shù)很多的重復(fù)獨立試驗中差不多是一定會出現(xiàn)的.,69,重復(fù)獨立試驗(伯努利試驗),設(shè)A在一次試驗中發(fā)生的概率為P(A)=p.求n次重復(fù)獨立試驗中A恰好出現(xiàn)k次概率. 二項概率公式關(guān)鍵

36、: 只有兩個可能結(jié)果: A與,70,例 試驗成功的概率為p,則n次試驗成功2次的概率;n次試驗至少成功1次的概率;第n次實驗取得r 次成功的概率.問:女排比賽采用五局三勝制,中國隊每局獲勝的概率為0.6,求中國隊獲勝的概率.,71,例: 自某一批產(chǎn)品中用取后放回的方法進行重復(fù)抽樣檢查,先后取出200件,發(fā)現(xiàn)其中有4件次品,試分析可否相信這一批產(chǎn)品的次品率不超過0.005.,解: 假定次品率為0.005,則200件產(chǎn)品中出現(xiàn)4件

37、次品概率P200(4)≈0.015小概率事件在一次試驗中幾乎不可能出現(xiàn),現(xiàn)在卻發(fā)生,只能懷疑“次品率為0.005”不正確,泊松公式,定理: 當(dāng)n很大,p很小,λ=np時,注: (1) n≥ 30 一般可認(rèn)為n比較大; (2) p≤ 0.1 一般可認(rèn)為p比較小;,73,泊松公式,定理: 當(dāng)n很大,p很小,λ=np,注: (3) 泊松公式,74,泊松公式,定