數(shù)值分析02線性空間與賦范線性空間

1、第二章 數(shù)值分析基礎(chǔ),,第一節(jié) 線性空間與賦范線性空間 第二節(jié) 內(nèi)積空間與內(nèi)積空間中的正交系 第三節(jié) 初等變換陣與特殊矩陣,,,第一節(jié) 線性空間與賦范線性空間,,一、線性空間,,代數(shù)運(yùn)算的八條規(guī)則,,線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．,,線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實(shí)際問題看作線性空間，進(jìn)而通過研究線性空間來解決實(shí)際問題．,Ｒ：可以

2、看成是實(shí)數(shù)域Ｒ上的線性空間，加法和數(shù)乘是實(shí)數(shù)中的加法和數(shù)乘；Ｃ：可以看成是復(fù)數(shù)域Ｃ上的線性空間，加法是復(fù)數(shù)的加法，數(shù)乘是實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)按復(fù)數(shù)乘法相乘；,Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：實(shí)數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上所有ｍ×ｎ矩陣的集合。按矩陣的加法和數(shù)乘矩陣定義加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間；,2、幾個具體的線性空間實(shí)例,,P[x]n：實(shí)數(shù)域上所有次數(shù)≤ｎ的多項(xiàng)式。按多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式定義加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間。但次數(shù)＝ｎ的多項(xiàng)式

3、全體不能構(gòu)成線性空間；P[x]：實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式全體.按多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式法則構(gòu)成線性空間；,Ｃ［a，ｂ］：區(qū)間［a，ｂ］上一元連續(xù)函數(shù)的全體。是Ｒ上的線性空間,因?yàn)閮蓚€連續(xù)函數(shù)之和以及實(shí)數(shù)ｋ與連續(xù)函數(shù)乘積仍是連續(xù)函數(shù)；Ｃｎ［a，ｂ］：類似于Ｃ［a，ｂ］，在區(qū)間［a，ｂ］上ｎ階連續(xù)可微的一元函數(shù)全體.構(gòu)成Ｒ上的線性空間。,,（１）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對運(yùn)算的封閉性．,例１

4、 實(shí)數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作 ．,線性空間的判定方法,,,,例4 在區(qū)間 上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．,,（２）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．,證明,所以對定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉．,,下面一一驗(yàn)

5、證八條線性運(yùn)算規(guī)律：,,所以 對所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．,3、線性空間的基和維數(shù),已知：在　中，線性無關(guān)的向量組最多由 個向量組成，而任意 個向量都是線性相關(guān)的．,問題： 在線性空間V中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？,3、線性空間的基和維數(shù),,,,,4、線性空間的子空間,,矩陣代數(shù)中的幾個重要子空間,,,,,,（2）矩陣的列空間和行空間,,,,,,,,生成的子空間的基與維數(shù).,例,,,,定義2-4,5、元素

6、在給定基下的坐標(biāo),,,,注 線性空間V 的任一元素在不同基下所對應(yīng)的坐標(biāo)一般不同，一個元素在一個基下對應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．,,6、線性空間的同構(gòu),,,定義　設(shè)U、V是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系 ，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，那末就稱線性空間 U與 V同構(gòu).,同構(gòu)的意義,在線性空間的抽象討論中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)．從這個意義上可以說，同構(gòu)的線性

7、空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．,,,定義2-5,二、賦范線性空間1.向量范數(shù)公理,,Matlab: norm(x,p),,數(shù)值分析,,s=0;for i=1:n s=s+abs(x(i));end,s=0;for i=1:n s=s+x(i)*x(i);ends=sqrt(s),s=0;for i=1:n s=s+x(i)^2;end

8、s=sqrt(s),,,s=0;for i=1:n if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));endend,,,,,,例：證明,,注意： 1.等價性不等于互相代替，即在同一問題中不能混 用不同的范數(shù)。2.在無限維空間中，向量范數(shù)的等價性不成立。,,,,,,,,（2）算子范數(shù)（從屬范數(shù)）,定義2-7（矩陣的算子范數(shù)）,,,,,,特征值和特征向量的性質(zhì):,,,,,,,,,,證畢,,4.賦范線