賦范線(xiàn)性空間中廣義凸集族的正則性研究.pdf

1、最優(yōu)化理論是最優(yōu)化中一個(gè)重要組成部分,也是運(yùn)籌學(xué)中的重要理論基礎(chǔ)。作為最優(yōu)化理論中的一個(gè)重要性質(zhì)——正則性在優(yōu)化可行性問(wèn)題的穩(wěn)定性和靈敏性分析方面起著極其重要的作用。1967年Gurin,Poliac和Raik在研究具有非空交集的閉凸集族時(shí)提出了GPR性質(zhì)。事實(shí)上,GPR性質(zhì)等價(jià)于Bauschke和Borwein定義的有限個(gè)閉凸集族的正則性。近幾十年來(lái),研究最優(yōu)化理論的工具——集值分析和變分法等得到長(zhǎng)足發(fā)展并在不斷完善,從而推動(dòng)了線(xiàn)性正

2、則和度量正則等正則性的研究并取得許多具有實(shí)用價(jià)值的結(jié)論,也使更一般化的正則性理論成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究焦點(diǎn)。
　　 本文整體上可概括為兩部分:
　　 第一部分,一方面利用集值映射、Proximinal集和核等概念以及Robinson-Ursescu定理,討論在Frechet空間中有限個(gè)具有非空交集的閉凸集族的正則性條件,證明在取i∈I使Ci是Proximinal的集族中,若其交集有界且核非空,則集族滿(mǎn)足正則性條件。另一方面,

3、在Banach空間中利用強(qiáng)擬相對(duì)內(nèi)部指出當(dāng)集族的強(qiáng)擬相對(duì)內(nèi)部非空且交集有界時(shí)正則性依然成立。同時(shí)還證明集族相對(duì)內(nèi)部非空有界的多面體也存在正則性。這些都從一個(gè)側(cè)面回答了Stefan Maruster和Cristina Popirian提出的是否存在具有交集內(nèi)部為空但有界的集族也能滿(mǎn)足正則性條件的問(wèn)題。
　　 第二部分,首先引入偽凸與擬凸等兩種特殊廣義凸集的概念,并證明了賦范線(xiàn)性空間中偽凸集的偽(擬、強(qiáng)擬等)相對(duì)內(nèi)部所具有的運(yùn)算性質(zhì)