多元函數(shù)的極限與連續(xù)、偏導數(shù)

1、莫興德廣西大學數(shù)信學院,Email:moxingde@gxu.edu.cn,微 積 分,鏈接目錄,參考書,[1]趙樹嫄. 微積分. 中國人民出版社[2]同濟大學. 高等數(shù)學. 高等教育出版社,第八章 多元函數(shù),空間解析幾何簡介多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導數(shù)全微分復合函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法二元函數(shù)的極值二重積分,8-3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)8-4 偏導數(shù),1、多元函數(shù)的極限,用平面上(x0,y0)

2、,(x,y)的距離,（1）定義中 的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的.,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等。,說明：,證,當 時，,原結論成立．,例2 求證,例3 求極限,

3、解,其中,例4 證明 不存在．,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在．,確定極限不存在的方法：,2、二元函數(shù)的連續(xù)性,解,取,當 時,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,例6 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性．,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在．,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質,（1）最大值和最小值

4、定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．,（2）介值定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．,多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的．,定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域．,多元函數(shù)的定義,多元函

5、數(shù)極限的概念,（注意趨近方式的任意性）,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質,3、小結,思考題,不能.,例,取,原因為若取,思考題解答,練 習 題,二. 求下列各極限:,練習題答案,偏 導 數(shù),我們已經知道一元函數(shù)的導數(shù)是一個很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。 對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問題。雖然多元函數(shù)的自變量不止一個，但實際問題常常要求在其它自變量不變的

6、條件下，只考慮函數(shù)對其中一個自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)的變化率問題，這就是偏導數(shù)概念，對此給出如下定義。,一、偏導數(shù)的定義及其計算法,如果函數(shù)z=f(x,y) 在區(qū)域D 內任一點(x,y) 處對的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是 x、y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) 對自變量的偏導數(shù)。,記為：,同理可以定義函數(shù) z=f(x,y)對自變量y的偏導數(shù),記為：,偏導數(shù)的求法,求 時把 y 視為常數(shù)而對 x

7、 求導,求 時把 x 視為常數(shù)而對 y 求導,這仍然是一元函數(shù)求導問題,偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),一般地 設,解,證,原結論成立．,解,不存在．,證,有關偏導數(shù)的幾點說明：,１、,２、,求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求,計算 f x (x0 ,y0 ) 時可先將 y = y0 代入 f (x ,y ),再對 x 求導,然后代入 x = x0,計算 f y (x0 ,y

8、0 ) 時同理,解,3、,4、,偏導數(shù)的實質仍是一元函數(shù)求導問題，具體求導時要弄清是對哪個變量求導，其余均視為常量。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),則稱 f( x , y ) 關于 x , y 具有輪換對稱性,在求 時,只需將所求的,中的 x , y 互換即可,6、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系,多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，,？,,但

9、函數(shù)在該點處并不連續(xù).,偏導數(shù)存在 連續(xù).,7、偏導數(shù)的幾何意義,如圖,幾何意義:,二、高階偏導數(shù),純偏導,混合偏導,定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).,觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關系：,,,,,原函數(shù)圖形,偏導函數(shù)圖形,偏導函數(shù)圖形,二階混合偏導函數(shù)圖形,解,問題：,混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？,解,三、小結,偏導數(shù)的定義,（偏增量比的極限）,偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意