6.2 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、62多元函數(shù)的偏多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分?jǐn)?shù)和全微分621偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算1偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)定義對(duì)于二元函數(shù)，如果只有自變量x變化?而自變量y固定?這時(shí)它就是x)(yxfz?的一元函數(shù)?這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)?就稱為二元函數(shù)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)。)(yxfz?定義定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x0?y0)的某一鄰域內(nèi)有定義?當(dāng)y固定在y0而x在x0處)(yxfz?有增量?x時(shí)?相應(yīng)地函數(shù)有增量)()(0000yxfyxxf???如果極限存在?則稱此極限為函數(shù)在

2、點(diǎn)(x0?xyxfyxxfx??????)()(lim00000)(yxfz?y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)?記作：，，，或。00yyxxxz????00yyxxxf????00yyxxxz??)(00yxfx即：?xyxfyxxfyxfxx???????)()(lim)(0000000類似地，函數(shù)在點(diǎn)(x0?y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：)(yxfz??yyxfyyxfy??????)()(lim00000記作：，，，或。00yyxxyz????

3、00yyxxyf????00yyxxyz??)(00yxfy偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在?那)(yxfz?)(yx么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)?它就稱為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)?記作)(yxfz?x，，，或。xz??xf??xz)(yxfx偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：?xyxfyxxfyxfxx???????)()(lim)(0類似地?可定義函數(shù)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)?記為)(yxfz???，或。yz??yf??yz)(yxfy證

4、因?yàn)??VRTp?2VRTVp??????pRTV?pRTV?????RpVT?RVpT???所以?12????????????????pVRTRVpRVRTpTTVVp例5說明的問題?偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)?不能看作分子分母之商。3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)在空間中表示一曲面，在處對(duì)求偏)(yxfz?00()x

5、yx導(dǎo)時(shí)把看成常量，這時(shí)是關(guān)于的一元函數(shù)，所以yzx表示曲面與平面的交線在00()xyzx??)(yxfz?0yy?處沿軸正向的切線斜率(如圖)同理，00()xyx表示曲面在該點(diǎn)處沿軸正向的切線斜率00()xyzy??y4偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性對(duì)于多元函數(shù)來說?即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在?也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)?例如???????????000)(222222yxyxyxxyyxf在點(diǎn)(0?0)有?fx(0?0)?0?fy(0?0