初二數(shù)學平行線分線段成比例定理講義及練習

1、1平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理一、主要知識點1平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。3三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本

2、例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。二、重點剖析1平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時，它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。定理的基本圖形∵l1∥l2∥l3∴DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB???①對應線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對應。②為了強調(diào)對應和記憶，可以

3、使用一些簡單形象化語言記憶上面所列三組比例式：，可以說成“上比下等于上比下”EFDEBCAB?，可以說成“上比全等于上比全”DFDEACAB?，可以說成“下比全等于下比全”等DFEFACBC?2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1（即平行線分線段比例定理的推論）基本圖形∵DE∥BC∴ACCEABDBACAEABADECAEDBAD???①圖2—（1），圖2—（3）稱為“A”型，圖2—（2）稱為“X”型LLL圖1（1）CFABEDFC圖1（2）3

4、ED12BAF3LC圖1（3）2LL1BEA圖1（4）FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)ADEBCEDABCABCDE圖2(1)圖2(2)圖2(3)32355???BDBD解之，得BD=（cm）310例3、如圖7，A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點，且AB∥ED、BC∥FE。求證：AFCD分析要證明AFCD，應推導出能使AFCD的比例線段，由題中圖形可知，應證明，而由ABED，ODOFOCOA?BCFE，容易得到此

5、關系。證明：∵ABED∴①∵BCFE∴②ODOBOEOA?OEOCOFOB?由①得由②得∴OEOBODOA???OEOBOFOC???OFOCODOA???則∴AFCDODOFOCOA?點評：本題是采用的是“公比過渡”的方法來解決問題的，“公比”是指兩個或兩個以上的比例式中均有一個公共比，有時公比是采用乘積式的形式。例4如圖8梯形ABCD中，ABCD，M為AB的中點，分別連結(jié)AB、BD、MD、MC，且AC與MD交于E，DB與MC交于F，

6、求證EFCD分析：要證EFCD，可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，首先觀察EF、CD截哪個三角形，然后證明它截得兩邊上的對應線段成比例即可。證明：∵ABCD∴，又∵AM=BM∴∴EFCDEMDEAMCD?FMCFMBCD?FMCFEMDE?點評利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：（1）首先觀察欲證平行線截哪個三角形（2）再觀察它們截這個三角形的哪兩邊（3）最后只須證明這兩條邊上對應線段成比例即可當已知中有相等線

7、段時，常利用它們和同一條線段（或其它相等線段）的比作為中間比例5如圖9，分別在△ABC的三邊BC、AC、AB上CBA???或其延長線上，且CCBBAA???求證：CCBBAA?????111分析所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類問題，一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。證明：∵∴∵∴AACC??BACBAACC????BBCC??ABCABBCC????∴∴1??????????????ABCACBABCABACBBBCCAAC

8、CCCBBAA?????111點評對于線段倒數(shù)和的證明，常見的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形式，再利用平行線或相似三角形有關性質(zhì)進行求解，如本題中，要證，只需證，即將倒數(shù)和的形CCBBAA?????1111??????BBCCAACC式化為線段比的形式。例6如圖10四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BD于E，EFCD交BC于F，求證：1??ABADBFBC分析結(jié)論是兩個線段比的差，可分別求出每一組線段的比，再進行減法運算。證明：∵AE