勾股定理16種經(jīng)典證明方法

1、11abcabba214214222??????【證法證法1】1】（課本的證明）（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是ab，所以面積相等.即整理得222cba??.【證法證法2】2】（鄒元治證明）（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等

2、于ab21.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH∠AHE=90∴∠AEH∠BEF=90.∴∠HEF=180―90=90.∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD∠GHD=90∴∠EHA∠GHD=90.又∵∠GHE=9

3、0∴∠DHA=9090=180.∴ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為ab的正方形，它的面積等于??2ba?.∴??22214cabba????.∴222cba??.【證法證法3】3】（趙爽證明）（趙爽證明）以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab21.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD∠HAD=90，∴∠EAB∠HAD=90，∴ABCD是一

4、個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a∠HEF=90.DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEH33cccbacbaABCEFPQMN做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過(guò)點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)B

5、作BM⊥PQ，垂足為M；再過(guò)點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90，QP∥BC，∴∠MPC=90，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90，∴BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90.∵∠QBM∠MBA=∠QBA=90，∠ABC∠MBA=∠MBC=90，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90，∠BCA=90，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法證法7

6、】7】（歐幾里得證明）（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于221a，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=2a.同理可證，矩形MLEB的面積=2b.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積矩

7、形MLEB的面積∴222bac??，即222cba??.【證法證法8】8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即ABADAC??2.同理可證，ΔCDB∽ΔACB，從而有ABBDBC??2.∴??2

8、22ABABDBADBCAC?????，即222cba??.【證法證法9】9】（楊作玫證明）（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過(guò)A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.過(guò)B作BP⊥AF，垂足為P.過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H.∵∠BAD=90，∠PAC=90，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA