勾股定理的證明方法探究

1、《勾股定理的證明方法探究》勾股定理又叫畢氏定理：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說(shuō)也超過(guò)4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過(guò)300個(gè)對(duì)這定理的證明！勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次

2、地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。1.課本方法：畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為(ab)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形

3、面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是a2b2=c2。這是幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。方法2：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖這個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念：⑴全等形的面積相等；⑵一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，

4、任何人都能理解。ca2b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。應(yīng)用勾股定理犯的錯(cuò)誤：⑴勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理其應(yīng)用非常廣泛.我們?cè)趹?yīng)用這兩個(gè)定理解題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解現(xiàn)將錯(cuò)誤歸納剖析如下以引起我們的重視.一、忽視題目中的隱含條件例1在Rt△ABC中a、b、c分別為三條邊∠B=90如果a=3cmb=4cm求邊c的長(zhǎng).誤解:∵△ABC是直角三角形∴a2b2=c2即3242=c2解得c

5、=5(cm).剖析:上面的解法忽視了題目中∠B=90b是斜邊的隱含條件.正解:∵∠B=90∴a2c2=b2c=b2a2!=4232!=!7(cm).二、忽視定理成立的條件例2在邊長(zhǎng)都是整數(shù)的△ABC中ABAC如果AC=4cmBC=3cm求AB的長(zhǎng).誤解:由“勾3股4弦5”知AC=4cmBC=3cmABAC∴AB=5cm.剖析:這種解法受“勾3股4弦5”思維定勢(shì)的影響見題中有BC=3AC=4就認(rèn)為AB=5而忘記了“勾3股4弦5”是在直角三

6、角形的條件下才成立而本題中沒有指明是直角三角形因此只能用三角形三條邊之間的關(guān)系來(lái)解。歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面