基本不等式的變形及應用

1、基本不等式基本不等式的變式及應用的變式及應用abba222??不等式是課本中的一個定理，它是重要的基本不等式之一，對于它及abba222??它各種變式的掌握與熟練運用是求解很多與不等式有關問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應用1、十種變式①；②；222baab??2)2(baab??③；④2)2(222baba???)(222baba???⑤若，則；⑥則0?bbaba??22??Rbababa???411⑦若⑧若，則abbaR

2、ba4)11(2????0?ab222)11(2111baba???上述不等式中等號成立的充要條件均為：ba?⑨若，則（當且僅當時等號成立）RbaRnm???nmbanbma????222)(bman?⑩（當且僅當時等號成立）)(3)(2222cbacba?????cba??2、應用例1、若，且，求證：??Rcba2???cba4111??????cba證法一：由變式①得即21111?????aa121???aa同理：，121???bb

3、121???cc因此12111???????acba41212?????cb由于三個不等式中的等號不能同時成立，故4111??????cba評論：評論：本解法應用“”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對于某一字母左邊是222baab??一次式，而右邊是二次式，顯然，這個變式具有升冪與降冪功能，本解法應用的是升冪功能。解析：結合變式⑨得?234)7(3)3(4)4(222???????baba因此即14714?????ba147147?????ba

4、當且僅當、再結合條件得及時，)3(4)4(3???ba???????????7144471433ba???????????7144471433ba分別獲得最小值與最大值；評論：評論：由再結合2222222()()ambnmnabnmnammnb???????2()mnab?即得變式⑨，這可是一個很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產生的mnR??一個特殊分式的關系，它的靈活應用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐

5、曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。例4、已知，且，求的最小值)22(??yx1??xy229944yxu????解析：由變式⑥229944yxu?????????????)91()41(49114112222yxyx5123124)94(2422?????yx上述兩不等式當且僅當、再結合得或時，3||2||yx?1??xy??????????3626yx??????????3626yx取得最小值；評論：評論：由結合兩邊同除以222()