第1章 不定積分

1、1第1章不定積分不定積分1.1.1原函數(shù)概念原函數(shù)概念這節(jié)課我們講原函數(shù)的概念，先來看什么是原函數(shù)已知求總成本函數(shù)邊際成本C(x)C?(x)‖（）MC()??=MC求已知已知總成本C(x)，求邊際成本C?(x)，就是求導(dǎo)數(shù)反之如果已知邊際成本，用MC表示，要求總成本，這就是我們要討論的問題，也就是要知道哪一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于MC我們引進一個概念：定義定義1.11.1若對任何x?D，F(xiàn)?(x)=f(x)，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù)原函數(shù)

2、我們來看具體的問題：例如?(x3)??=3x2F(x)f(x)?x3是3x2的原函數(shù)大家用自己的方法把它搞清楚，不要和導(dǎo)數(shù)的概念搞混了先考慮這樣一個問題，x2的原函數(shù)是哪個？由原函數(shù)的概念我們就要看哪個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是x2，即它使得x2)(??成立，我們在下列函數(shù)中進行選擇：12ln41222???xxxx，經(jīng)驗證知21x?和42?x是2x的原函數(shù)通過這個過程應(yīng)該弄清，求已知函數(shù)的原函數(shù)，就是看哪個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是已知函數(shù)，這個函數(shù)就是所求的

3、原函數(shù)另外，2x的原函數(shù)不唯一它告訴我們原函數(shù)不止一個再從另一方面提出問題，xsin為哪個函數(shù)的原函數(shù)？xxcos)(sin??，說明xsin是xcos的原函數(shù)同樣，xxcos)3(sin???，說明3sin?x是xcos的原函數(shù)事實上，cx?sin都是xcos的原函數(shù)，說明原函數(shù)有無窮多個那怎樣求出一個函數(shù)的所有原函數(shù)呢？這是下面要討論的若)()(xGxF都是)(xf的原函數(shù)，則cxFxG??)()(證：設(shè))()()(xGxFxH??

4、，0)()()()()(????????xfxfxGxFxH可知cxH??)(，即cxFxG??)()(3要求)(xf?的不定積分，也就是要看哪個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是)(xf?，答案當(dāng)然是)(xf但另一方面不定積分是要求全體原函數(shù)，所以正確的選擇是cxfxxf????)(d)(再討論第二個問題)d)((???xxf有三個答案給我們選擇①cxf??)(②cxf?)(③)(xf所以正確的選擇是)()d)((xfxxf???由這兩個問題我們了解到，

5、導(dǎo)數(shù)和不定積分是兩種互逆的運算求導(dǎo)數(shù)????互逆求不定積分求導(dǎo)公式反過來就是積分公式例：求?)(dxf分析：分析：由微分定義有：xxfxfd)()(d??解：由微分定義有cxfxxfxf??????)(d)()(d，即求??xxfd)(1.21.2積分基本公式積分基本公式正因為求導(dǎo)與求不定積分互為逆運算，所以導(dǎo)數(shù)基本公式和積分基本公式也是互逆的也就是說，有一個導(dǎo)數(shù)公式，反過來就有一個積分公式先讓我們回顧一下導(dǎo)數(shù)基本公式0)(??cxxc