定積分和不定積分

1、定積分與不定積分輔導(dǎo)學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求：1正確理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)，能熟練地應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算定積分，掌握定積分在幾何上的應(yīng)用2了解原函數(shù)與不定積分概念3掌握直接積分法4了解微分方程的有關(guān)概念內(nèi)容：1定積分的概念2定積分的性質(zhì)3牛頓萊布尼茨公式4定積分的計(jì)算5定積分在幾何上的應(yīng)用6不定積分7不定積分基本積分公式8不定積分計(jì)算9可分離變量的微分方程內(nèi)容指導(dǎo)：內(nèi)容指導(dǎo)：一元函數(shù)積分學(xué)中的另一個(gè)基本問(wèn)題——定積分問(wèn)題。不定

2、積分作為導(dǎo)數(shù)（或微分）的逆運(yùn)算引入，而定積分概念是由實(shí)際需要，特別是幾何、物理上的需要，而引進(jìn)的。教材從計(jì)算曲線(xiàn)梯形的面積入手，引進(jìn)了定積分概念。正確理解定積分概念是本章的重點(diǎn)之一。另外兩個(gè)重點(diǎn)是：計(jì)算定積分與在幾何上的應(yīng)用。對(duì)于不定積分，重點(diǎn)是掌握不定積分的計(jì)算方法，特別是湊積分法。1定積分的概念定積分的概念要正確理解定積分的概念，需要把握下列諸方面：（1）正確理解定積分的定義。定積分的定義，實(shí)質(zhì)上是告訴我們一種解決問(wèn)題的思想方法。它

3、主要用于對(duì)區(qū)間，上某一量的a[]b計(jì)算。例如，底為區(qū)間，、高為的曲邊梯形面積的計(jì)算；作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，在某a[]b)(xfy?一時(shí)間區(qū)間，上路程的計(jì)算等等。定義采用：分割、代替、作和式與求極限四步，把要算的量歸結(jié)a[]b為和式的極限：iniixxfi????)(lim0?當(dāng)該極限存在時(shí)，就稱(chēng)此極限值為函數(shù)在區(qū)間，上的定積分，記作，即)(xfa[]b?badxxf)(=?badxxf)(iniixxfi????)(lim0?應(yīng)當(dāng)指出：

4、分割是任意的，即極限值不依賴(lài)于分割的方式；代替是指，小區(qū)間上任意一點(diǎn)][1iixx?處的代替變動(dòng)的，即“不變代變”；作和式是將有限項(xiàng)累加起來(lái)，它可作為所求量i?)(if?)(xf)(if?ix?的近似值，且分割越細(xì)，其精確度越高；求極限，就是當(dāng)每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)（此時(shí)，必有）ix?0???n時(shí)，和式的極限值即為所計(jì)算量的精確值。另外，關(guān)于定積分定義，還有如下補(bǔ)充說(shuō)明：設(shè)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則)(xF)(xf=?badx

5、xf)(?)(bF)(aF這就是著名的牛頓萊布尼茨公式，也叫做微積分基本公式。有了它，定積分的計(jì)算問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求不定積分的問(wèn)題，從而提供了計(jì)算定積分的一種簡(jiǎn)便方法。應(yīng)當(dāng)注意，公式適用的條件是被積函數(shù)連續(xù)，但當(dāng)被積函數(shù)分段連續(xù)時(shí)，可用定積分的性質(zhì)把積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間來(lái)計(jì)算。4定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算由牛頓萊布尼茨公式可以把定積分計(jì)算歸結(jié)為不定積分的計(jì)算，但定積分計(jì)算時(shí)，還需注意下列三個(gè)方面。（1）定積分的上、下限隨積分變量的更換而更

6、新。（2）奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的積分，偶函數(shù)有???aaadxxfdxxf0)(2)(奇函數(shù)有0)(??aadxxf5定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用6不定積分的概念不定積分的概念（1）原函數(shù)與不定積分定義設(shè)是定義在區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在函數(shù)是，使得在區(qū)間上的任何一點(diǎn))(xfI)(xFI處都有x或)()(xfxF?dxxfxdF)()(?則稱(chēng)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。)(xF)(xfI這里，我們指出：如果函數(shù)在

7、區(qū)間上連續(xù)，則在上必有原函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。II定義若是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng)的全部原函數(shù)C（C為任意)(xF)(xfI)(xf)(xF常數(shù)）為的不定積分，記作)(xf?dxxf)(即=C?dxxf)()(xF其中“”是積分號(hào)，叫做被積函數(shù)，叫做被積式，叫做積分變量，C叫做積分常數(shù)。?)(xf)(xfdxx不定積分也簡(jiǎn)稱(chēng)為積分，求不定積分的運(yùn)算和方法分別稱(chēng)為積分運(yùn)算和積分法。由原函數(shù)與不定積分的定義可以看出，微分（或?qū)?shù)