高中數學圓的方程(含圓系)典型題型歸納總結

1、1高中數學圓的方程典型題型歸納總結高中數學圓的方程典型題型歸納總結類型一：巧用圓系求圓的過程類型一：巧用圓系求圓的過程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：⑴以為圓心的同心圓系方程為圓心的同心圓系方程⑵過直線過直線與圓與圓的交點的圓系方程的交點的圓系方程⑶過兩圓過兩圓和圓和圓的交點的交點的圓系方程的圓系方程此圓系方程中不包含圓此圓系方程中不包含圓，直接應用該

2、圓系方程，必須檢驗圓，直接應用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，是否滿足題意，謹防漏解。謹防漏解。當時，得到兩圓公共弦所在直線方程時，得到兩圓公共弦所在直線方程例1：已知圓：已知圓與直線與直線相交于相交于兩點，兩點，為坐標原點，若坐標原點，若，求實數，求實數的值。的值。分析：此題最易想到設出，由得到，利用設而不求的思想，聯立方程，由根與系數關系得出關于的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為

3、直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即………………….①依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則故例2：求過兩圓：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。的交點且面積最小的圓的方程。解：圓和的公共弦方程為，即過直線與圓的交點的圓系方程為，即3點設所求直線為043???myx，則1431122????md，∴511???m，即6??m，

4、或16??m，也即06431???yxl：，或016432???yxl：設圓9)3()3(221????yxO：的圓心到直線1l、2l的距離為1d、2d，則34363433221???????d，143163433222???????d∴1l與1O相切，與圓1O有一個公共點；2l與圓1O相交，與圓1O有兩個公共點即符合題意的點共3個說明：說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設圓心1O到直線01143???yx的距離為d，則324

5、311343322????????d∴圓1O到01143???yx距離為1的點有兩個顯然，上述誤解中的d是圓心到直線01143???yx的距離，rd?，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1類型三：圓中的最值問題類型三：圓中的最值問題例7：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是0104422?????yxyx014???yx解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離18)2()2(22????y

6、x23?r，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是rd???25210.262)()(?????rrdrd例8(1)已知圓1)4()3(221????yxO：，)(yxP為圓O上的動點，求22yxd??的最大、最小值(2)已知圓1)2(222???yxO：，)(yxP為圓上任一點求12??xy的最大、最小值，求yx2?的最大、最小值分析：分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或數形結合解

7、決解：解：(1)(法1)由圓的標準方程1)4()3(22????yx可設圓的參數方程為???????sin4cos3??yx（?是參數）則????2222sinsin816coscos69????????yxd)cos(1026sin8cos626??????????（其中34tan??）所以361026max???d，161026min???d(法2)圓上點到原點距離的最大值1d等于圓心到原點的距離1d加上半徑1，圓上點到原點距離的最

8、小值2d等于圓心到原點的距離1d減去半徑1所以6143221????d4143222????d所以36max?d16min?d(2)(法1)由1)2(22???yx得圓的參數方程：???????sincos2??yx?是參數則3cos2sin12???????xy令t???3cos2sin??，得tt32cossin?????，tt32)sin(12??????1)sin(1322????????tt433433?????t所以433m