高中數學圓的方程典型例題

1、■■■第1頁共21頁■■■高中數學圓的方程典型例題高中數學圓的方程典型例題類型一：圓的方程類型一：圓的方程例1求過兩點)41(A、)23(B且圓心在直線0?y上的圓的標準方程并判斷點)42(P與圓的關系分析：分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關系，只須看點P與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內解法一：解法一：（待定

2、系數法）設圓的標準方程為222)()(rbyax????∵圓心在0?y上，故0?b∴圓的方程為222)(ryax???又∵該圓過)41(A、)23(B兩點∴???????????22224)3(16)1(rara解之得：1??a，202?r所以所求圓的方程為20)1(22???yx解法二：解法二：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過)41(A、)23(B兩點，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因為13124?????ABk，故l的

3、斜率為1，又AB的中點為)32(，故AB的垂直平分線l的方程為：23???xy即01???yx又知圓心在直線0?y上，故圓心坐標為)01(?C∴半徑204)11(22?????ACr故所求圓的方程為20)1(22???yx又點)42(P到圓心)01(?C的距離為rPCd??????254)12(22∴點P在圓外說明：說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系

4、來判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？■■■第3頁共21頁■■■∴5252yxyx???∴兩直線交角的平分線方程是03??yx或03??yx又∵圓過點)50(A，∴圓心C只能在直線03??yx上設圓心)3(ttC∵C到直線02??yx的距離等于AC，∴22)53(532????tttt化簡整理得0562???tt解得：1?t或5?t∴圓心是)31(，半徑為5或圓心是)155(，半徑為55∴所求圓的方程

5、為5)3()1(22????yx或125)15()5(22????yx說明：說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例4、設圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段弧，其弧長的比為1:3，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線02??yxl：的距離最小的圓的方程分析：分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標和半徑

6、，便可求得圓的標準方程滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：解法一：設圓心為)(baP，半徑為r則P到x軸、y軸的距離分別為b和a由題設知：圓截x軸所得劣弧所對的圓心角為?90，故圓截x軸所得弦長為r2∴222br?又圓截y軸所得弦長為2∴122??ar又∵)(baP到直線02??yx的