高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點歸納總結(jié)

1、§14. 導(dǎo) 導(dǎo) 數(shù) 數(shù) 知識要點 知識要點 知識要點 知識要點1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè) 0 x 是函數(shù) ) (x f y ? 定義域的一點，如果自變量 x 在 0 x處有增量 x ? ，則函數(shù)值 y 也引起相應(yīng)的增量 ) ( ) ( 0 0 x f x x f y ? ? ? ? ? ；比值xx f x x fxy?? ? ? ? ?? ) ( ) ( 0 0 稱為函數(shù) ) (x f y ? 在點 0 x 到

2、x x ? ? 0 之間的平均變化率；如果極限xx f x x fxyx x ?? ? ? ? ??? ? ? ?) ( ) ( lim lim 0 00 0 存在，則稱函數(shù) ) (x f y ? 在點 0 x 處可導(dǎo)，并把這個極限叫做 ) (x f y ? 在 0 x 處的導(dǎo)數(shù)，記作 ) ( 0' x f 或0 | 'x x y ? ，即 ) ( 0' x f =xx f x x fxyx x ?? ? ? ?

3、 ??? ? ? ?) ( ) ( lim lim 0 00 0 .注：① x ? 是增量，我們也稱為“改變量”，因為 x ? 可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù) ) (x f y ? 定義域為 A ， ) ( ' x f y ? 的定義域為 B ，則 A 與 B 關(guān)系為 B A ? .2. 函數(shù) ) (x f y ? 在點 0 x 處連續(xù)與點 0 x 處可導(dǎo)的關(guān)系：⑴函數(shù) ) (x f y ? 在點 0 x 處連續(xù)是 ) (x

4、f y ? 在點 0 x 處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果 ) (x f y ? 在點 0 x 處可導(dǎo)，那么 ) (x f y ? 點 0 x 處連續(xù).事實上，令 x x x ? ? ? 0 ，則 0 x x ? 相當(dāng)于 0 ? ?x .于是 )] ( ) ( ) ( [ lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 0 0x f x f x x f x x f x fx x x x ? ? ? ? ? ? ?? ?

5、 ? ? ?導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意 義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算法則是都有 0 ) ( ? x f ，有一個點例外即 x=0 時 f（x） = 0，同樣 0 ) ( ? x f 是 f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果 f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負(fù)），那么 f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7. 極值的判別方法：

6、（極值是在 0 x 附近所有的點，都有 ) (x f ＜ ) ( 0 x f ，則 ) ( 0 x f 是函數(shù)) (x f 的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù) ) (x f 在點 0 x 處連續(xù)時，①如果在 0 x 附近的左側(cè) ) ( ' x f ＞0，右側(cè) ) ( ' x f ＜0，那么 ) ( 0 x f 是極大值；②如果在 0 x 附近的左側(cè) ) ( ' x f ＜0，右側(cè) ) ( ' x f ＞0，那么

7、 ) ( 0 x f 是極小值.也就是說 0 x 是極值點的充分條件是 0 x 點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是 ) ( ' x f =0①. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②. 當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不同）.注①： 若點 0 x 是可導(dǎo)函數(shù) ) (x f 的極值點，則 ) ( ' x f =0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點 0

8、 x 是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù) 3 ) ( x x f y ? ? ， 0 ? x 使 ) ( ' x f =0，但 0 ? x 不是極值點.②例如：函數(shù) | | ) ( x x f y ? ? ，在點 0 ? x 處不可導(dǎo)，但點 0 ? x 是函數(shù)的極小值點.8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.9. 幾種常見

9、的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I. 0 ' ? C （ C 為常數(shù)） x x cos ) (sin ' ?2'11 ) (arcsinxx??1 ' ) ( ? ? n n nx x （ R n? ） x x sin ) (cos ' ? ?2'11 ) (arccosxx?? ?II. x x 1 ) (ln ' ?e x x a a log