柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用

1、柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為CauchyBuniakowskySchwarz不等式，因為，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾?，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值

2、、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。一、柯西不等式的各種形式及其證明一、柯西不等式的各種形式及其證明二維形式二維形式在一般形式中，在一般形式中，12122naaabbcbd?????令，得二維形式??????22222bdacdcba????等號成立條件：??dcbabcad??擴展：??????222222222123123112233nnnnaaaabbbbabababab??????????????????????等號成立條件：1122

3、000::::123iiiinniiababababababin??????????????????當(dāng)或時，和都等于，不考慮二維形式的證明：二維形式的證明：????????????22222222222222222222222220=abcdabcdRacbdadbcacabcdbdadabcdbcacbdadbcacbdadbcadbc?????????????????????等號在且僅在即時成立三角形式三角形式????222222a

4、bcdacbdadbc????????等號成立條件：三角形式的證明三角形式的證明：222111nnnkkkkkkkabab???????????????????12121212121111111231111mnnmmmnmmmmmmmmiiiiniiiixxxxxxxxxxxxxmnN??????????????????????????????????????????????????其中，或者或者：111111mmmnnmijijjij

5、iijxxmnNxR?????????????????????????????????其中，，或者或者??????????11221111nnnnnnxyxyxyxyxxy????????????????????????注：表示，，，x的乘積，其余同理推廣形式的證明：推廣形式的證明：推廣形式證法一：推廣形式證法一：111222112112121212112112121212112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxyAxyAxyx

6、xxxAAAxxxnAAAAAAyyyyAAAyyynAAAAAAnxAAA??????????????????????????????????????????????????????????????????????????記由平均不等式得同理可得上述個不等式疊加，得1????????????????????1121111112112211nnnnnnnnnnnnnnyAAAxyAAAxyxyxyxyxy????????????????