高等代數(shù)_李海龍_習題第10章群、環(huán)和域簡介

1、第十章第十章群、環(huán)和域簡介群、環(huán)和域簡介10.1群1判斷下列集合對于所給的運算來說哪些作成群哪些不作成群：(1)某一數(shù)域F上全體nn?矩陣的加法；(2)全體正整數(shù)對于數(shù)的乘法；(3)??2xxZ?對于數(shù)的乘法；(4)??01xRx???對于數(shù)的乘法；(5)??11?對于數(shù)的乘法解：解：(1)設數(shù)域F上全體nn?矩陣的集合為()nMF，對于矩陣的加法來說()nMF作成一個加群因為對任意()nABCMF?，有1()ABC??=()ABC??

2、(加法結合律)2()nMF中存在零矩陣O，使得對任意的A?()nMF，有AOOAA????3對于A?()nMF，有A??()nMF使得()()AAAAO??????4對于AB?()nMF，有ABBA???(2)全體正整數(shù)對于數(shù)的乘法不作成群因為對于數(shù)的乘法來說，單位元是1，但是對于正整數(shù)a=2來說不存在正整數(shù)b使得ab=1(3)集合??2xMxZ??對于數(shù)的乘法作成阿貝爾群因為1對于12x，22x，32x?M，123xxxZ?，有312

3、(22)2xxx??=1232xxx??=3122(22)xxx??2在M中有021?，使得2xM?，有022x?=022x?=2x3對于2xM?，存在2xM??使得22xx??=22xx??=02=12當00mn??時，()mna=1[()]mna??=1[()]mna??=1()mna??=11[()]mna??=mna當00mn??時，()mna=1[()]mna??=1()mna??=11[()]mna??=mna3當00mn?

4、?時，()mna=1[()]mna??=11[()]mna????=()mna??=mna??=mna綜上所述所證，群G中指數(shù)規(guī)則（1）、（2）成立3設Gabc?，G的乘法由下面的表給出：abcaabcbbcaccab證明G對于所給的乘法作成一個群證明：證明：根據(jù)G的乘法表可知abbba??，accca??，bcacb??，所以G的乘法是可換的，以下證明G對于乘法作成一個群1結合律成立由于G對于所給的乘法是可換的，對于結合律我們只要驗證

5、也容易驗證以下的情況即可()()abcabc?；()()aabaab?；()()aacaac?；()()bbabba?；()()bbcbbc?；()()ccacca?；()()ccbccb?其它情況由G的乘法可換性，立即可以證得2G中有單位元a，使得對于G中任意元素abc，都有aaa?，abbab??，accac??3G中每一個元素都有逆元，a的逆元是a，（因為aaa?），而b的逆元是c，c的逆元是b，（因為bccba??）所以G對于所