第1講代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介

1、2024/3/19,1,《近世代數(shù)》課程,課程代碼： 173034 適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)教育、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。學(xué) 時(shí) 數(shù)： 36。 學(xué) 分 數(shù)： 2,主講人: 游泰杰,2024/3/19,2,第一講 引言,一 代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,二 群、環(huán)、域的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì),2024/3/19,3,一、抽象代數(shù)的研究對(duì)象,１、研究的對(duì)象: 有運(yùn)算的系統(tǒng)(把所要研究的對(duì)象組織成一個(gè)有運(yùn)算的系

2、統(tǒng))。,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,4、本課程主要介紹群、環(huán)、域三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。,2、研究?jī)?nèi)容: 它的運(yùn)算性質(zhì)。,3、研究目的: 用來(lái)解決問題。 對(duì)一類問題利用運(yùn)算性質(zhì)求出所有可能的解答.,2024/3/19,4,二、課程主要特點(diǎn),代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,抽象性高、邏輯性強(qiáng),理論證明多、構(gòu)造性強(qiáng) (經(jīng)常需要考慮“具有某些運(yùn)算性質(zhì)的代數(shù)體系是否存在？”這樣的構(gòu)造性問題). 例如，在實(shí)數(shù)域中，關(guān)于數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算都封閉，但又不連續(xù)的數(shù)系是否

3、存在？,概念多、結(jié)論多,2024/3/19,5,三、產(chǎn)生代數(shù)學(xué)的必然性,代數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識(shí)自然和改造世界的必然產(chǎn)物:,人類的基本需求: 計(jì)量和計(jì)數(shù) 一切有意識(shí)、有目的實(shí)踐活動(dòng)都離不開計(jì)量和計(jì)數(shù)。,必須從抽象的高度去揭示和把握自然規(guī)律,經(jīng)驗(yàn)是處理不了復(fù)雜問題 簡(jiǎn)單的計(jì)量問題可以憑經(jīng)驗(yàn)處理，大量的計(jì)量問題是很復(fù)雜的、僅靠經(jīng)驗(yàn)是處理不了的。,2024/3/19,6,三、產(chǎn)生代數(shù)學(xué)的必然性,代數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識(shí)自然和改造世界的必然產(chǎn)

4、物:,人類的基本需求: 計(jì)量和計(jì)數(shù),必須從抽象的高度去揭示和把握自然規(guī)律,經(jīng)驗(yàn)是處理不了復(fù)雜問題,計(jì)量規(guī)律: 數(shù)量關(guān)系 人們必須分析和總結(jié)計(jì)量問題，尋找數(shù)量關(guān)系，即運(yùn)算規(guī)律。,代數(shù)學(xué)逐漸形成 探索樹量關(guān)系,有了表示量的數(shù)字和數(shù)的運(yùn)算法則，就誕生了最基本的數(shù)域。,2024/3/19,7,四、學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的意義,１、運(yùn)算性質(zhì)的重要性：印度國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)麥粒的失敗說(shuō)明:了解數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是很重要的；２、高維空間的幾何學(xué)問題：現(xiàn)實(shí)空

5、間的幾何問題可以作圖描繪，觀察研究。四維以上空間是存在的，其中的幾何問題如何研究？用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題不受維數(shù)的限制 在解析幾何學(xué)中，我們已經(jīng)知道，笛卡爾坐標(biāo)系架起了幾何與代數(shù)之間的一座偉大的橋梁，使得規(guī)則的幾何問題可以用代數(shù)方法來(lái)研究。,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,2024/3/19,8,四、學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的意義,３、復(fù)數(shù)域的存在性問題：可以根據(jù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)實(shí)在在地構(gòu)造出來(lái)。４、在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用。抽象代數(shù)學(xué)的三個(gè)應(yīng)用典范

6、:⑴ 為解方程 x2+1=0 而創(chuàng)建復(fù)數(shù)域；⑵ 對(duì)稱群理論確定了晶體結(jié)構(gòu)的完全分類；⑶ 二元域?yàn)楝F(xiàn)代通訊解決難題。,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,2024/3/19,9,五、抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)方法,１、以數(shù)系、多項(xiàng)式運(yùn)算系統(tǒng)、矩陣運(yùn)算系統(tǒng)等為背景來(lái)理解絕大部分概念和結(jié)論，甚至模仿許多問題的求解和推證。,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,2024/3/19,10,五、抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)方法,２、及時(shí)復(fù)習(xí)，細(xì)讀詳解。由于抽象代數(shù)學(xué)中的概念多、結(jié)論多，抽象度高，邏輯性特別強(qiáng)，初學(xué)

7、一遍兩遍時(shí)，很難深入理解和掌握概念、結(jié)論的內(nèi)涵與外延，不易理解和掌握概念之間、結(jié)論之間、概念與結(jié)論之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。當(dāng)然也就不容易記住那么多的概念與結(jié)論，通常表現(xiàn)為對(duì)簡(jiǎn)單的問題都感到無(wú)從著手。最好的辦法就是,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,2024/3/19,11,五、抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)方法,苦練內(nèi)功，及時(shí)復(fù)習(xí)，反復(fù)研讀，不斷強(qiáng)化自己的抽象思維能力和邏輯推理能力。,３、積極認(rèn)真地做習(xí)題。,代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,2024/3/19,12,六、教材及主要參考書目,石生

8、明，近世代數(shù)初步，高等教育出版社，200５年胡冠章，應(yīng)用近世代數(shù)（第二版），清華大學(xué)出版社，1999。袁秉成等：近世代數(shù)，東北師大出版社，1995。靈沼，丁石孫：《代數(shù)學(xué)引論》，高等教育出版社，1988。張禾瑞：《近世代數(shù)基礎(chǔ)》， 高等教育出版社，19 8 8。,2024/3/19,13,群、環(huán)、域的定義,及簡(jiǎn)單性質(zhì),2024/3/19,14,群的定義,設(shè)非空集S上有一個(gè)運(yùn)算 · ,1. 如果運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱(S

9、,·)是半群。2. 如果半群S中有一個(gè)元素 e 滿足?a∈S有　　　　　　　 e · a = a · e = a，則稱(S,·, e) 是幺半群，稱e為單位元 或幺元。3. 如果幺半群S滿足：對(duì)a∈S若有ｂ∈S使得 a ·ｂ=ｂ· a = e則稱 a 是可逆元，并稱ｂ是 a 的一個(gè)逆元。注：通常用 1 表示單位元。

10、,2024/3/19,15,群定義,4. 如果幺半群S的每個(gè)元素都有逆元，則稱Ｓ是一個(gè)群 (group)。運(yùn)算滿足交換律的群Ｓ稱為交換群. 注意：記住驗(yàn)證運(yùn)算的封閉性！,2024/3/19,16,5. 命題 （1）可逆元 的逆元是唯一的， a 的逆元記為 a－１。（2）單位元是唯一的。證明：若 a 有兩個(gè)逆元ｂ和ｃ，即有 ab=ba=1, ac=ca=1 ? b=1b=cab=c1=

11、c. ■6. 對(duì)群G中的元 a 和正整數(shù) n ． an 表示 n 個(gè) a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 17. 驗(yàn)證： amn =(am)n ; am+n =am an.8. 群的運(yùn)算滿足消去律： ab= ac ? b=c。,2024/3/19,17,幾個(gè)問題:(1)、為什么要求群的運(yùn)算滿足結(jié)合律? (2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性

12、有何運(yùn)算意義?,2024/3/19,18,,環(huán)的定義：環(huán)R是具有兩個(gè)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng) (R,+, ·), 其運(yùn)算滿足:,(I) (F,+)是交換群, 單位元叫零元，記0; a 的逆元叫負(fù)元,記 ?a.,(II) (F, ·，1)是幺半群。,(III) 兩個(gè)運(yùn)算之間的聯(lián)系: 乘法對(duì)加法滿足左、右分配律;,乘法滿足交換律的環(huán)叫交換環(huán).,2024/3/19,19,基本運(yùn)算性質(zhì),?a,b∈R,1)

13、 ?(a+b)= ?a ?b,2) a0=0=0a,3) ab=(?a)(?b),定義 對(duì)環(huán) R 中的元 a ? 0，若有b ? 0使得 ab = 0 ，則稱 a 是 R 的一個(gè)左零因子， b 是 R 的一個(gè)右零因子。,2024/3/19,20,數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算作成的環(huán)，叫數(shù)環(huán)。,,,,例1 復(fù)數(shù)集C、實(shí)數(shù)集R、有理數(shù)集Q、整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算都是環(huán)。,例2 域F上的全體多項(xiàng)式集合F[x]關(guān)

14、于多項(xiàng)式的加法和乘法運(yùn)算是一個(gè)環(huán).,,例3 域F上的全體 n 階方陣Mn(F)關(guān)于矩陣的加法和乘法運(yùn)算是一個(gè)環(huán)。,?2.3 環(huán)的定義及例子,2024/3/19,21,?2.1 域的例子及典型應(yīng)用,,域的定義：域是具有兩個(gè)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng) (F,+, ·), 其運(yùn)算滿足:,(I) (F,+)是交換群, 單位元叫零元，記0; a的逆元叫負(fù)元,記 ?a.,(II) (F*, ·)是交換群;單位元記為 1。