代數(shù)學簡介-章璞

1、代數(shù)學,,章 璞上海交通大學2007-12-26,主要內容,一點歷史粗略分類問題案例前景展望,,,徐光啟（1562－1633），上海徐家匯人 農學、天文、數(shù)學家 將“Geometry”譯成“幾何” 與利瑪竇合譯《幾何原本》前6卷 李善蘭（1811－1882），浙江海寧人 數(shù)學、天文、植物學家 將“Algebra”譯成“代數(shù)”

2、譯《代數(shù)學》13卷；與偉烈亞力 合譯《幾何原本》后9卷,,,“代數(shù)學”的來歷,古典代數(shù)學：中心問題,Algebra (代數(shù)學)的原始含意： 用字母代替數(shù)進行運算古典代數(shù)學（至19世紀上半葉）中心問題： 求代數(shù)方程的根,古典代數(shù)學：代表性成就,古代巴比倫人:2次方程求根公式13世紀秦九紹:高次方程的近似解16紀意大利:3和4次方程求根公式18世紀初:

3、 復數(shù)系的建立18世紀未：Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 證明了 代數(shù)基本定理,不可逾越的困難,4次方程解出之后200余年，許多數(shù)學家相信更高次方程的求根公式仍存在，并尋找這樣的公式Lagrange首次意識到不存在此公式Niels H. Abel(1802-1829)證明了5次方程無求根公式。但未及說明哪些

4、方程根式可解,Evariste Galois(1811-1832) 17歲發(fā)現(xiàn)：代數(shù)方程的根式可解性是由這個方程的Galois群的可解性決定的.因此，5次及以上代數(shù)方程不存在求根公式。而古典代數(shù)學的其它難題（如尺規(guī)作圖和倍方問題），此后也均可用Galois理論得到完全解決。從而古典代數(shù)學終結,,古典代數(shù)學的終結,Galois的境遇,1829:Galois論文由Cauchy審理，被遺失1830:由Fourier審理，不久F

5、ourier逝世1831:再由Poisson審:“完全不能理解”,要其詳細說明1832-5-30夜Galois留下1份說明第2天便與情敵決斗而死1846: Liouville決定發(fā)表Galois的文章1870: Jordan全面清晰地闡明Galois工作 從此Galois的工作得到完全承認,Hermann Weyl 的評價,“Galois的論述在好幾十年中一直被看成是“天書”；但是，它后來對數(shù)學

6、的整個發(fā)展產生愈來愈深遠的影響。如果從它所包含思想之新奇和意義之深遠來判斷，也許是整個人類知識寶庫中價值最為重大的一件珍品”,對稱和美,,代數(shù)學新紀元,1843:Hamilton發(fā)現(xiàn)四元數(shù)代數(shù)1846:Cayley引進抽象群和矩陣 1871:Dedekind引進理想1872:Klein發(fā)表群的幾何學綱領1873:Lie創(chuàng)立Lie群1894:Cartan分類復半單Lie代數(shù)1896:Frobenius創(chuàng)立有限群表示論

7、1904:Schur建立無限群表示,代數(shù)學新紀元,1905:Wedderburn確定半單代數(shù)1911:Steinitz奠基域論1921:Noether奠基環(huán)論1931:Van der Waerden出版《近世代數(shù)》1942:Lefschetz出版《代數(shù)拓撲》 1946:Weil出版《代數(shù)幾何學基礎》1956:Cartan-Eilenberg出版《同調代數(shù)》至此，近世代數(shù)的最主要的分支出現(xiàn),06??? Order,

8、lattices, ordered algebraic structures08??? General algebraic systems 12??? Field theory and polynomials13??? Commutative rings and algebras14??? Algebraic geom

9、etry15??? Linear and multilinear algebra; matrix theory16??? Associative rings and algebras17??? Nonassociative rings and algebras18??? Category theory; homological algebra19??? K-theory20??? Group theo

10、ry and generalizations22??? Topological groups, Lie groups43??? Abstract harmonic analysis55??? Algebraic topology81??? Quantum theory15/95,,,,,AMS分類中的代數(shù)學分支,交換代數(shù)結合代數(shù)Lie代數(shù)范疇論與同調代數(shù)K-理論群論量子化代數(shù),,,,,,AMS分類中

11、的代數(shù)學分支,ArXiv分類中的代數(shù)學分支,Algebraic Geometry (math.AG) Algebraic Topology (math.AT) Category Theory (math.CT) Commutative Algebra (math.AC) Group Theory (math.GR) K-Theory and Homology (math.KT) Mathematical Physics (m

12、ath.MP) Operator Algebras (math.OA) Quantum Algebra (math.QA) Representation Theory (math.RT) Rings and Algebras (math.RA) 11/32,,,,,,ArXiv分類中的代數(shù)學分支,,范疇論 (math.CT) 交換代數(shù) (math.AC) 群論 (math.GR) K-理論和同倫 (math.KT) 量

13、子化代數(shù) (math.QA) 表示論 (math.RT) 環(huán)與代數(shù) (math.RA),,,,,代數(shù)學的粗略分類,交換代數(shù) 代數(shù)表示論 Kac-Moody代數(shù) 同調代數(shù)與K-理論 群論與群表示論 量子群與代數(shù)群 代數(shù)編碼

14、 環(huán)論與Hopf代數(shù),代數(shù)學研究各種代數(shù)結構及其表示和上同調；它們的組合、計算等方面的性質；及其應用；它們之間的相互聯(lián)系；以及和其它學科之間的聯(lián)系,代數(shù)學的研究對象,代數(shù)結構：帶有若干二元運算、且滿足特定條件的集合 和諧：若有多種運算，則必有使這些運算“和諧”的公理 基本的代數(shù)結構：群、環(huán)、域、(結合)代數(shù)、Lie代數(shù) 其它重要結構多為這5種的強、弱、組合或變形。如：L

15、ie (代數(shù)、量子)群、格、交換（Hopf、Kac-Moody、Poisson、 Clifford、頂點算子、微分分次、Koszul、Calabi-Yau）代數(shù)，等等,注記與觀察,結構的表示：容許結構作用的一個向量空間，這樣的作用 與該結構的運算是“和諧”的 表示論：最初是想通過結構在不同表示上的作用效果達到理解 結構目的?，F(xiàn)在，表示論成為代數(shù)學最活躍分支之一 范疇論：

16、將要研究的同類對象放在一起，看重對象之間的相互 聯(lián)系和整體的性質、以及這個整體與別的整體的聯(lián)系 上同調：如果所要研究的一串對象可由特殊的態(tài)射聯(lián)系起來成 為復形，則比較相鄰態(tài)射的像和核便得到上同調,作用、聯(lián)系、比較、顯示差別,構造；分類 簡單與復雜、特殊與一般: 比較、聯(lián)系 部分對整體的影響，或相互確定 計算各種上同調，并說明其意義 結構、表示、上同調之間的聯(lián)系 不同結構之間、代數(shù)與其它

17、學科之間聯(lián)系與轉換 等等,,代數(shù)學關心的基本問題,Hopf代數(shù)皆有代數(shù)和余代數(shù)的結構，它的余乘映射和余單位映射均是代數(shù)同態(tài)、并且還存在一個所謂的反極映射。 1980’s Drinfeld發(fā)現(xiàn)量子群的基本結構是Hopf,而且產生Yang-Baxter方程的解。從而引起極大關注,案例,,群代數(shù)與Lie代數(shù)的包絡代數(shù)恰好是 余交換的Hopf代數(shù)量子群和量子廣義Kac-Moody代數(shù) 均是Hopf代數(shù),且均有三角

18、分解有限維Hopf代數(shù)是Frobenius代數(shù)有限維Hopf代數(shù)H的子Hopf代數(shù)的維數(shù)整除H的維數(shù)階少于3個素因子的群、和奇數(shù)階群，均為可解群特征0域上有限群G的不可約表示的維數(shù)整除G的維數(shù)Kaplanski猜想：特征0代數(shù)閉域上半單Hopf代數(shù)H的不可約表示 的維數(shù)整除H的維數(shù),,,若干相關的定理,代數(shù)表示與量子群,1970’s Auslander解決Brauer猜想并奠定代數(shù)表示論。此

19、后這一分支得到很大發(fā)展。1990’sRingel 重新發(fā)現(xiàn)Hall代數(shù)；并和Green用有限域上遺傳代數(shù)的Hall代數(shù)的子代數(shù)合成代數(shù)成功實現(xiàn)量子群；接著Van den Bergh 用Hall代數(shù)本身實現(xiàn)量子廣義Kac-Moody代數(shù)。從而架起代數(shù)表示與量子化代數(shù)的橋梁,,,代數(shù)結構與表示 的圖的組合方法,使用圖是抽象的代數(shù)具體化的重要手段。復 半單Lie 代數(shù)分類由Dynkin圖表達。Gabriel

20、 和Ringel更是用圖來表達代數(shù)的結構和代數(shù)的表示。有限型遺傳代數(shù)的分類也同樣完全由Dynkin圖表達。圖的組合方法極大地推進和豐富了代數(shù)學的研究成果,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,同調代數(shù),,YM代數(shù),,數(shù)學物理,量子群,,,非交換幾何,,CY代數(shù),,三角范疇,,Lie代數(shù),,,Hopf代數(shù),,,Koszul,,包絡代數(shù),,Poisson,,Hall代數(shù),,上同調,,,

21、剛 性,代數(shù)表示,圖論,群表示,,,,,三角范疇,,圖,代數(shù)CYYMHopfPoisson……,,穩(wěn)定范疇,導出范疇,,,三角范疇,,,Serre對偶,CY范疇,商范疇,Hall運算,,,,,,,,,,Calabi-Yau范疇與周期性,頂點算子代數(shù)是共形場論和統(tǒng)計力學中重要的代數(shù)結構，是Borcherds等研究魔群和Moonshine模時開創(chuàng)的代數(shù)學是基礎的學科然而它有重要的應用最典型的例子它是編碼