線性離散系統(tǒng)的分析與校正

1、第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,7-1 離散系統(tǒng)的基本概念,,,,,7-2 信號的采樣與保持,7-3 z變換理論,7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學模型,7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,7-6 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,,,,7-1 離散系統(tǒng)的基本概念,信號的分類模擬信號：時間上連續(xù)，幅值上也連續(xù)的信號連續(xù)信號：時間上連續(xù)，幅值可連續(xù)可離散。離散信號：時間離散，幅值連續(xù)的信號數(shù)字信號：時間上離散

2、，幅值整量化的信號采樣：將模擬信號按一定時間采樣成離散信號的過程。量化：將采樣后的數(shù)據(jù)用一組數(shù)碼來表示，將其轉(zhuǎn)化成最小單位整數(shù)倍的過程。,數(shù)字量,t,脈沖序列,數(shù)字序列,自動控制系統(tǒng)按其包含的信號形式通常可劃分成一下幾種類型：連續(xù)控制系統(tǒng)：連續(xù)信號離散控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)：連續(xù)信號+離散信號數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)：連續(xù)信號+數(shù)字信號,1.采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)離散信號是脈沖序列（時間上離

3、散）,圖7-1 爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖,每隔時間T凸輪使指針接觸電位器一次，每次接觸時間為τ。則T為采樣周期，τ為采樣持續(xù)時間。,控制器,執(zhí)行器,采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖,連續(xù)量,連續(xù)量,離散量,將連續(xù)量變?yōu)殡x散量：采樣器將離散量變?yōu)檫B續(xù)量：保持器,離散量,連續(xù)量,幾個概念,（1）開環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣開環(huán)位于閉合回路之外，或系統(tǒng)本身不存在閉合回路。（2）閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣開環(huán)位于閉合回路之內(nèi)。最常見的是誤差采樣閉環(huán)控制系統(tǒng)。（3）線性采樣

4、開關(guān)：e*(t)和e(t)的幅值具有線性關(guān)系。（4）線性采樣系統(tǒng)：采樣開關(guān)和其余部分的傳遞函數(shù)都具有線性特性的系統(tǒng)。,2. 數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上整量化）,A/D：模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字 信號。包括采樣與量化兩過程。,D/A：數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬 信號。包括解碼與復(fù)現(xiàn)兩過程。,3

5、. 離散控制系統(tǒng)的優(yōu)點,1）數(shù)字式校正裝置效果好，且由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。2）采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的抗擾能力。3）允許采用高靈敏度的控制元件，以提高系統(tǒng)的控制精度。4）可用一臺計算機分時控制多個系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率，經(jīng)濟性好。5）對于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，可以引入采樣的方式穩(wěn)定。,4. 離散控制系統(tǒng)的研究方法數(shù)學工具：Z變換理論數(shù)學模型：脈沖傳遞函

6、數(shù),7-2 信號的采樣與保持,,1. 采樣過程,理想化：①采樣瞬間完成 ②采樣瞬時的脈 沖幅值等于e(t) 幅值。,采樣過程的物理意義： 采樣過程可以看作是單位理想脈沖序列?T(t) 被輸入信號e(t) 進行幅值調(diào)制的過程，其中?T(t)為載波信號，e(t)為調(diào)制信號，采樣開關(guān)為幅值調(diào)制器,其輸出為理想脈沖序列 e*(t) 。,

7、2.采樣過程的數(shù)學描述：（1）理想采樣過程的數(shù)學描述,（2）采樣信號的拉氏變換,注意： 由于 e*(t)只描述了e(t)在采樣瞬時的數(shù)值，所以E*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)e(t)在采樣間隔之間的信息。,例題： 設(shè) ，求 的拉氏變換。,解：,等比數(shù)列,E*(s)是eTs的有理分式。,例題： 設(shè) 為常數(shù)，求 的拉氏變換,解：,E*(s)是eTs的有理分式。,(3) 采

8、樣信號的頻譜分析一個周期函數(shù)可以用傅氏級數(shù)進行分解，即,傅氏級數(shù)的指數(shù)形式為：,單位理想脈沖序列的傅氏級數(shù)可寫成：,采樣信號的頻率特性：,,上式描述了采樣信號頻率特性與連續(xù)信號頻率特性之間的關(guān)系。,連續(xù)信號的頻譜為,采樣信號的頻譜為,當ωs ≥ 2ωh時，可用濾波器由采樣信號復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號。,當ωs < 2ωh時，無法用濾波器復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號。,3.香農(nóng)采樣定理,理解決的問題是：采樣周期選多大，才能將采樣信號較少失真地恢復(fù)為原來的連續(xù)

9、信號。香農(nóng)定理：如果采樣器的 輸入信號e(t) 具有有限帶寬，具有最高頻率為 的分量，要從采樣信號中e*(t)完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號e(t) ，必須滿足以下條件：,4.采樣周期的選取采樣周期選得越小，控制效果越好；但計算量大，控制規(guī)律的實現(xiàn)變得困難。采樣周期選得過大，會給控制過程帶來較大誤差。工程經(jīng)驗值如下,若為隨動系統(tǒng)，則采樣角頻率可取為,5.信號保持/復(fù)現(xiàn),零階保持器把前一采樣時刻的采樣值保持到下一個采樣時刻。即

10、e(nT+Δt)=e(nT), 0<= Δt<T.,信號保持/復(fù)現(xiàn)：,只要采樣頻率足夠高，,零階保持器,T=0.4,T=0.8,T=0.2,T=3,,,零階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性,,零階保持器的特性：（1）低通特性（2）相角滯后特性（3）時間滯后特性,7-3 Z 變換理論,1、Z變換定義,采樣信號拉氏變換為：,令z=eTs，則,稱E(z)為采樣信號e*(t)的Z變換，記做,E(z)與E*(s)之間的關(guān)系:,2、Z

11、變換方法,1、級數(shù)求和法級數(shù)求和法直接根據(jù)z變換定義求取。,例題： 試求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換,解：,例如，求e-at的Z變換。,先將E(s)寫成部分分式之和，再對每一部分分式求Z變換。,例 求 的Z變換。,2、部分分式法,例 求 的Z變換。,3、z變換性質(zhì),1、線性定理,3、復(fù)數(shù)位移定理,4、終值定理,5、初值定理,借助超前定理推導,借助定義

12、推導,6、卷積定理,四、 Z 反變換1、Z 反變換的定義由已知的 Z 變換E(z)，求相應(yīng)的離散時間序列e(nT)并表示為：2、 Z 反變換的求法求 Z 反變換的方法很多，常用的方法有：部分分式法，長除法和留數(shù)法。,(1)部分分式法,將 分解為部分分式和，再寫出E(z)的部分分式和(確保分子中含有z因子)，再通過查表求出對應(yīng)的離散序列。,zi為E(z)的極點，上式為E(z)無重根時的情況。,例,解：,(2)

13、冪級數(shù)法/綜合除法/長除法,利用多項式除法，將E(z)寫成z-1的多項式形式(按升冪排序)，則z-n前的系數(shù)就是第n個采樣時刻的e(t)值，即e(nT).,對應(yīng)的x(nT)或x*(t)。,解：,例,(3)留數(shù)法/反演積分法,點，則,單極點：,n重極點：,例7-13 用留數(shù)法求z的反變換。,解：E(z)zn-1有兩個極點：1，0.5。其留數(shù)分別為,故,7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學模型,1. 離散系統(tǒng)的數(shù)學定義,離散系統(tǒng),,,（1）線性離散系統(tǒng)

14、：滿足疊加原理。,（2）線性定常離散系統(tǒng)：輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)。,2.線性常系數(shù)差分方程及其解法,(1)差分方程,對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出c(k)，不但與此時的輸入r(k)有關(guān)，還與k時刻以前的輸入和輸出有關(guān)。這種關(guān)系可表示如下：,式中，ai，bj均為常數(shù)且m≤n。,上式為n階線性常系數(shù)差分方程，它可代表一個線性定常離散系統(tǒng)。,(2)差分的定義設(shè)連續(xù)函數(shù)x(t),對應(yīng)的離散函數(shù)為x(kT),記為x

15、(k).則前向差分一階前向差分：二階前向差分：后向差分一階后向差分：二階后向差分：,n階差分含有相連的n+1個采樣點的值。,（3）差分與微分的關(guān)系,前向差分：,后向差分：,（4）差分方程的求解,1)迭代法2)z變換法,1) 迭代法迭代法是根據(jù)已知的差分方程和輸入輸出序列的初始值，利用遞推關(guān)系逐步求出所需的輸出值的方法。例：已知差分方程為,輸入序列r(k)=1，初始條件為,試用迭代法求輸出序列,解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)

16、系得：,……,適用于計算機求解,2) Z變換法用Z變換法解差分方程的實質(zhì)，是對差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的時位移性質(zhì)，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解取Z反變換即求得輸出序列。,解：對差分方程兩邊取Z變換得,代入初始條件并整理得,查表得,例7-15 求差分方程,3. 脈沖傳遞函數(shù)（1）定義：零初始條件下，離散系統(tǒng)輸出脈沖序列Z變換與輸入脈沖序列Z變換之比。,零初始條件的含義：在t<0時，輸入序列和輸出序列全

17、為0.,脈沖響應(yīng)(補充),脈沖序列響應(yīng),K(t)是連續(xù)的,輸出隨輸入延時,峰值有時沒采到,輸入迭加輸出也,輸入≠1為加權(quán),（2）脈沖傳遞函數(shù)的意義：理想脈沖輸出響應(yīng)的Z變換就是脈沖傳遞函數(shù)。（3）脈沖傳遞函數(shù)的求法 1）由差分方程求取,例7-16 設(shè)某環(huán)節(jié)的差分方程為求其脈沖傳遞函數(shù)。,解：兩邊取Z變換，由實位移定理得,得脈沖傳遞函數(shù)為,（2）由連續(xù)部分的傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù) 等同于用部分分式法求Z變換。,解：

18、系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)為：,加上采樣開關(guān)后，連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)極點與離散系統(tǒng)開環(huán)極點一一對應(yīng)。,4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),（1）采樣拉氏變換的重要性質(zhì)： 采樣信號的拉氏變換具有周期性,離散信號E*(s)可以從離散符號中提出來。即,注意：,,由Z變換得定義得,因 ，所以 也是線性環(huán)節(jié)的脈沖響應(yīng)的Z變換。注意：,（1）脈沖傳遞函數(shù)G(z)是對輸出、輸入序列而言的，當輸出并非脈沖序列時，可將其看成脈沖序列

19、（即輸出端畫上一個假想的同步理想開關(guān)），這對求采樣時刻的輸出值是一樣的。（2）G(s)是線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，而G(z)表示線性環(huán)節(jié)+理想開關(guān)的傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）。若不存在理想開關(guān)，則C(z)=R(z)G(z)不成立！??！,關(guān)于串聯(lián)有兩種典型的情況,（2）具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),結(jié)論,被理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這個結(jié)論可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)。在這種情況下，

20、總的脈沖傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。即沒有采樣開關(guān)隔離時兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián),其脈沖傳函為這兩個環(huán)節(jié)的傳函相乘之積的Z變換。這個結(jié)論可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)。,（3）帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),零階保持器不影響離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。,5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2(補充),注意：對于一個離散控制系統(tǒng)，若對其誤差信號不進行采樣，將得不到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能寫出輸出信號的變換表達式

21、。,6.Z變換的局限性（自學）,1）z變換的推導建立在采樣過程的理想化處理上。即只有當采樣持續(xù)時間遠小于系統(tǒng)最大時間常數(shù)時才成立。2）C(z)只給出了c(t)在采樣時的值，不能反映采樣間隔中的信息。3）用z變換分析離散系統(tǒng)時，系統(tǒng)連續(xù)部分G(s)的極點數(shù)至少要比其零點數(shù)多兩個，否則c*(t)與c(t)差別較大。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,若系統(tǒng)在理想單位脈沖作用下，則有,當脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)無重極點時，C(z)可分解為,求

22、反變換，得,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,求反變換，得,一、 s 域到 z 域的映射關(guān)系,二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)特征根全部位于z平面單位圓內(nèi)。,解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)特征方程,結(jié)論：因為|z2|>1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),勞斯判據(jù)可用來判斷一個多項式方程位于復(fù)平面的右半平面上根的個數(shù)。為了將其應(yīng)用到離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定上來，我們引入了W變換：,由上面的式子，可得到如下的z與w的映

23、射關(guān)系。,Z平面 ：單位圓上 單位圓內(nèi) 單位圓外W平面： 虛軸 w左半平面 w右半平面,,,,把勞斯判據(jù)用于判斷離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟：求出離散控制系統(tǒng)的特征方程D(z)=0；將D(z)中的z用(w+1)/(w-1)替代，得p(w)=0。應(yīng)用勞斯判據(jù)。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是p(w)=0的根都在w的左半平面。,解：,使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K取值范圍,臨界增益,勞思表,采樣開關(guān)和開環(huán)增

24、益對離散系統(tǒng)性能的影響(補充),T=0 k=0.2,k=0.8,k=1.2,k=10,k=100,,k不變時, T越大性能越差,結(jié)論：（1）當采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；（2）當開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息就越多，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能不利。,以右圖所示離散系統(tǒng)為例，系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：,若系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)Z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：,4、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,,5、離散系統(tǒng)的型別與靜

25、態(tài)誤差系數(shù),在離散系統(tǒng)中，把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)具有z=1（對應(yīng)于s=0）的極點個數(shù)ν作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準。分為0型, I型,II型等。,(1)單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù),稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。,單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：,(1)0型系統(tǒng)，即G(z)中不含z=1的極點，則,(2)I型或I型以上的系統(tǒng)，即G(z)中含z=1的極點，則,（2）單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù),稱為系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系

26、數(shù),0型,I型,II型以上,（3）單位拋物線輸入的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù),稱為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù),從上面的分析可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與三個因素有關(guān)：(1)輸入信號；(2)采樣周期大小，縮短采樣周期將會降低穩(wěn)態(tài)誤差；(3)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點（積分環(huán)節(jié)）的個數(shù)和開環(huán)增益K。,求穩(wěn)態(tài)誤差的一般步驟,1.判穩(wěn)2.求E(z)或Kp、Kv、Ka3.下式求ess,解1：,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,解2：,Ⅰ型系

27、統(tǒng),7-6 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,研究離散系統(tǒng)的動態(tài)性能時，通常假定外作用是單位階躍函數(shù)。若可以寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)輸出的z變換為：,一、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點與瞬態(tài)分量的聯(lián)系,設(shè)閉環(huán)脈沖傳函無重極點，則,則:,回顧,pi在單位圓內(nèi)的位置不同，它所對應(yīng)的瞬態(tài)分量的形式也就不同。討論如下,(1) pi為正實數(shù),① pi<1，ci(nT)為幅值衰減的脈沖序列。,② pi=1，ci(nT)為等幅脈沖序列。,③ pi>1，

28、ci(nT)為幅值發(fā)散的脈沖序列。,(2) pi為負實數(shù),① pi<1，ci(nT)為幅值衰減且正負交替的脈沖序列。,② pi=1，ci(nT)為等幅且正負交替的脈沖序列。,③ pi>1，ci(nT)為幅值發(fā)散且正負交替的脈沖序列。,閉環(huán)實極點分布與相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)形式,,,Im,Re,,,,,,,,0,1,(3) pi為共軛復(fù)數(shù)極點,① pi位于單位圓內(nèi)，即 ，則隨著n的增加，ci(nT) 衰減振蕩；

29、,② pi位于單位圓上，即 ，則隨著n的增加，ci(nT)等幅振蕩；,③ pi位于單位圓外，即 ，則隨著n的增加，ci(nT)發(fā)散振蕩。,不論pi為實數(shù)還是復(fù)數(shù)，|pi|越小，ci(nT)衰減越快。,將離散系統(tǒng)閉環(huán)的極點記為：,,,Im,Re,,1,–1,,,,,,,,閉環(huán)復(fù)極點分布與相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)形式,每個振蕩周期內(nèi)包含的采樣點的個數(shù)為：k=2π/θi。和負實軸靠的越近，θi越大，k越

30、小，一個周期內(nèi)包含的采樣點越少，表明系統(tǒng)振蕩越劇烈。,綜上所述，為使離散系統(tǒng)有較好的動態(tài)品質(zhì)，我們希望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點具有如下的分布：1.為使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點應(yīng)分布在單位圓內(nèi)；2.為使瞬態(tài)分量衰減得快，閉環(huán)極點應(yīng)靠近原點；3.為使系統(tǒng)瞬態(tài)過程平緩（振蕩不劇烈），閉環(huán)極點應(yīng)分布在單位圓內(nèi)的右半平面。,2.采樣器和保持器對系統(tǒng)性能的影響（自學）,采樣器和保持器不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，但會影響其零點，故采樣器和保持器會影響

31、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，進而影響系統(tǒng)動態(tài)性能。下面通過例子進行定性分析。,例 7-26 其中取T=1，k=1，得三種情況下的單位階躍響應(yīng)曲線如下。,連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng),僅帶采樣器的響應(yīng),帶采樣器和保持器的響應(yīng),采樣器和保持器對離散系統(tǒng)的動態(tài)性能有如下影響：     1）采樣器可使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間略有減小，但使超調(diào)量增大，故采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。   

32、;  2）零階保持器使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間都加長，超調(diào)量和振蕩次數(shù)也增加。這是因為除了采樣造成的不穩(wěn)定因素外，零階保持器的相角滯后降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。,作業(yè),7-2（1）（4），7-3（1），7-57-9（a，b），7-12，7-13，7-15,作業(yè)答案,7-2（1）（4）,7-3（1）,7-5,作業(yè)答案,7-9（a，b）,7-12,（1）不穩(wěn)定（2）不穩(wěn)定,7-13,（1）不穩(wěn)定（2）0<K&l