二項(xiàng)式定理典型例題解析

1、二項(xiàng)式定理概念篇【例1】求二項(xiàng)式(a－2b)4的展開式.分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理得(a－2b)4=Ca4Ca3(－2b)Ca2(－2b)2Ca(－2b)3C(－04142434442b)4=a4－8a3b24a2b2－32ab316b4.說(shuō)明：運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)要注意對(duì)號(hào)入座，本題易誤把－2b中的符號(hào)“－”忽略.【例2】展開(2x－)5.223x分析一：直接用二項(xiàng)式定理展開式.解法一：(2x－)5=C(2x)5C(

2、2x)4(－)C(2x)3(－)2C(2x)2(－)3223x0515223x25223x35223xC(2x)(－)4C(－)545223x55223x=32x5－120x2－－.x1804135x78405x1032243x分析二：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.解法二：(2x－)5=223x105332)34(xx?=［C(4x3)5C(4x3)4(－3)C(4x3)3(－3)2C(4x3)2(－3)3C(4x3)(－3

3、)410321x0515253545C(－3)5］55=(1024x15－3840x125760x9－4320x61620x3－243)10321x=32x5－120x2－－.x1804135x78405x1032243x說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(ab)n的展開式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件.對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)便.【例3】在(x－)10的展開式中，x6的系數(shù)是.3解法一：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知x6的系數(shù)是C.4

4、10解法二：(x－)10的展開式的通項(xiàng)是Tr1=Cx10－r(－)r.3r103令10－r=6，即r=4，由通項(xiàng)公式可知含x6項(xiàng)為第5項(xiàng)，即T41=Cx6(－)4=9C4103410x6.∴x6的系數(shù)為9C.410上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個(gè)是正確的呢？問題要求的是求含x6這一項(xiàng)系數(shù)，而不是求含x6的二項(xiàng)式系數(shù)，所以應(yīng)是解法二正確.如果問題改為求含x6的二項(xiàng)式系數(shù)，解法一就正確了，也即是C.410說(shuō)明：要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與

5、指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異.化簡(jiǎn)得又∵0≤r≤7，∴r=5.?????????????????????.313316.1271812rrrrrr解得∴系數(shù)最大項(xiàng)為T6=C25x5=672x5.57(2)解：展開式中共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得.又因(1－2x)7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.=＞1，所以系667447

6、)2(C)2(C??1737C4C數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，即T5=560x4.說(shuō)明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項(xiàng)的一般解法，(2)的解法是通過對(duì)展開式多項(xiàng)分析，使解題過程得到簡(jiǎn)化，比較簡(jiǎn)潔.【例7】(12x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依題意有C25=C26，解得n=8.(1

7、2x)8的展開式中，5n6n5n6n二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C(2x)4=1120x4.4n設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有???????????.2C2C2C2C11771177rrrrrrrr∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5，T7=1792x6.說(shuō)明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二

8、項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇【例8】若n∈N，(1)n=anbn(an、bn∈Z)，則bn的值()22A.一定是奇數(shù)B.一定是偶數(shù)C.與bn的奇偶性相反D.與a有相同的奇偶性分析一：形如二項(xiàng)式定理可以展開后考查.解法一：由(1)n=anbn，知anbn=(1)n2222=CCC()2C()3…C()n.0n1n22n23n2nn2∴bn=1C()2C()4…2n2