典型例題31-數(shù)學(xué)歸納法解題

1、用心愛心專心1高考數(shù)學(xué)典型例題詳解高考數(shù)學(xué)典型例題詳解數(shù)學(xué)歸納法解題數(shù)學(xué)歸納法解題數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.●難點磁場●難點磁場(★★★★)是否存在a、b、c使得等式122232…n(n1)2=(a

2、n2bnc).12)1(?nn●案例探究●案例探究［例［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1n∈N且a、b、c互不相等時，均有：ancn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成

3、立(a、b、c為正數(shù))，從而ak1ck1＞akccka.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=c=bq(q＞0且q≠1)qb∴ancn=bnqn=bn(qn)＞2bnnnqbnq1(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=ac猜想＞()n(n≥2且n∈N)2nnca?2ca?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時，由2(a2c2)＞(ac)2，∴222)2(2caca???②設(shè)n=k時成立，即)2(2kkkcaca???則當(dāng)n=k1時，(ak

4、1ck1ak1ck1)41211????kkca用心愛心專心3.1]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命題也成立即????????????????????????knkkaakaakaakkkkkkk由①②知，an=對一切n∈N成立.??????????)2()12)(32(2)1(1nnnn(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=∴S=Sn=0.121?nlim??n●錦囊妙記●錦囊妙記(1)(1)數(shù)學(xué)歸

5、納法的基本形式數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若的命題，若1P(n0)成立成立(奠基奠基)2假設(shè)假設(shè)P(k)成立成立(k≥n0)，可以推出，可以推出P(k1)1)成立成立(歸納歸納)，則，則P(n)對一切大于等于對一切大于等于n0的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立都成立.(2)(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等