數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典例題及答案

1、1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法（2016.4.21）一、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：一、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（如或2等）時(shí)結(jié)論正確；n0n01n?（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論也正確0(N)nkkkn????1nk??綜合（1）、（2），……注意：數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：兩步驟一結(jié)論。二、題型歸納：二、題型歸納：題型題型1.證明代數(shù)恒等式證明代數(shù)恒等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：????121

2、2121751531311???????????nnnn?證明：①n=1時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立31311???31121???②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：????1212121751531311???????????kkkk?當(dāng)n=k1時(shí)????????3212112121751531311????????????kkkk?????3212112?????kkkk????????????321211232121322??

3、????????kkkkkkkk??1121321???????kkkk這就說(shuō)明，當(dāng)n=k1時(shí)，等式亦成立，由①、②可知，對(duì)一切自然數(shù)n等式成立3原等式變?yōu)?x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因?yàn)?x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn22n－2bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)a22n

4、－3①當(dāng)n＝2時(shí)左邊＝T2＝b2＝2，右邊＝＝2，左邊＝右邊，等式成立2(2＋1)(2－1)3②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N)時(shí)，等式成立，即Tk＝成立k(k＋1)(k－1)3那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)k(k＋1)(k－1)3k(k＋1)(k－1)3＝k(k＋1)＝(k－13＋1)k(k＋1)(k＋2)3＝＝右邊(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)－1]3故當(dāng)n＝k＋1