一輪復習配套講義第12篇 第3講 數學歸納法及其應用

1、第3講數學歸納法及其應用[最新考綱]1了解數學歸納法的原理2能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.知識梳理1數學歸納法證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立2數學歸納法的框圖表示辨析感悟1數學歸納法原理(1)用數

2、學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結論成立()(2)所有與正整數有關的數學命題都必須用數學歸納法證明()(3)用數學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用()2數學歸納法的應用(4)(教材習題改編)在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為12n(n－3)條時，第一步檢驗n等于3.(√)審題路線(1)代入等差、等比數列的通項公式求an，bn；(2)注意到所證結論是關于“n”的命題，可運用數學歸納法證明(1)解由a1＝2，公差d＝3，∴a

3、n＝a1＋(n－1)d＝3n－1.在等比數列bn中，公比q＝2，首項b1＝2，∴bn＝22n－1＝2n.(2)證明①當n＝1時，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；②假設當n＝k時等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，當n＝k＋1時，Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(

4、－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1時等式也成立由①、②可知，對任意n∈N，Tn＋12＝－2an＋10bn成立規(guī)律方法(1)用數學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少(2)由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差