常微分方程課程總結

1、 常微分方程課程總結 常微分方程課程總結第一章 第一章 緒論§1.2 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程 常微分方程偏微分方程微分方程 微分方程：凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程。常微分方程 常微分方程：未知函數為一元函數的微分方程。? ? ? ?,dyaxy a dxdyp x y Q x dx?? ?為常數偏微分方程 偏微分方程：未知函數為多元函數，從而出現偏

2、導數的微分方程。? ?2 2, 2 224 2u uf x yx yu uy x? ?? ?? ?? ?? ? ?（2）線性與非線性 線性與非線性一般 一般 n 階線性微分方程具有形式： 階線性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）( ) ( 1)1 1 ( ) ( ) ( ) ( ). n nn n y a x y a x y a x y f x ?? ? ? ? ? ? ? ?（3）解和隱式解 解和隱式解微分方程的解 微分方

3、程的解：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數.隱式解： 隱式解：Φ（x,y）=0（4）通解和特解 ）通解和特解通解 通解：微分方程的解中含有任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數同.）特解： 特解： 確定了通解中任意常數以后的解.初始條件 初始條件：用來確定任意常數的條件.初值問題 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.（5）積分曲線 ）積分曲線：微分方程任一特解的圖形都是一條曲線,稱為微分方程的積曲線。第二章 第二章

4、 一階微分方程的初等解法§2.1 變量分離方程與變量變換2.1.1 2.1.1、變量分離方程 、變量分離方程 ) ( ) ( y x f dxdy ? ? ? ? ? ? c dx x f ydy ) ( ) ( ?2.1.2 2.1.2、可化為變量分離方程的類型 、可化為變量分離方程的類型 1.形如 ，稱為齊次微分方程，令 u＝ ,即 y＝ux，于是 ＝ ＋ ，代入原方 ) ( xy g dxdy ? xydx

5、dy xdxdu u程，變形為 ＋ ＝ （ ） ，整理得 ＝ xdxdu u g u dxduxu u g ? ) (2.形如 的方程也可經變量變換化為變量分離方程2 2 21 1 1c x b x ac x b x adxdy? ?? ? ?2.3.2 積分因子，積分因子 。 ) (x NxNyM? ? ?? ? ??? ?dx x e) ( ? ?§2.4 一階隱式微分方程與參數表示（1）形如 ， ) , ( dxdy

6、 x f y ?引入參數 ，原方程變?yōu)?，兩邊對 求導，并以 代入，得到 ，這是 p dxdy ? ) , ( p x f y ? x p dxdy ? dxdypfxy p ?? ? ?? ?關于 的一階微分方程 p x,（2）形如 ， ) , ( dxdy y f x ?引入參數 ，原方程變?yōu)?，兩邊對 y 求導，并以 代入，得到 ，這 p dxdy ? ) , ( p x f x ? p dydx 1 ? dydppfyfp ??

7、 ? ?? ? 1是關于 的一階微分方程，設求得通解為 ，則方程通解為 p y, 0 ) , , ( ? c p y ? ? 0 ) , , () , (??c p yp y f x?（3）形如 F（ ＝0 ) , y x ?（4）形如 F（c tt dt tt t ydt tt t y tt p tt x tx py x y x? ?? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 333 32 33

8、32 33233 3) 1 (4 123) 1 () 2 1 ( 9, ) 1 () 2 1 ( 9 d , 13 , 13 , y0 3積分之，得到 于是 從而 則由方程得 解：令＝0 ) , y y ?第三章 第三章 一階微分方程解的存在定理 一階微分方程解的存在定理§3.1 3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1．存在性與唯一性定理 ．存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程（3

9、.1） ) , ( y x f dxdy ?這里 是在矩形域：（3.2） ) , ( y x f 0 0 :| | ,| | R x x a y y b ? ? ? ?上連續(xù)。 定理 定理 1：如果函數 滿足以下條件：1）在 上連續(xù)：2）在 上關于變量 滿足李普希茲 ) , ( y x f R R y（Lipschitz）條件，即存在常數 ，使對于 上任何一對點 ， 均有不等式 0 L ? R 1 ( , ) x y 2 ( , ) x