常微分方程模擬試題

1、<p><b>　　常微分方程模擬試題</b></p><p>　　一、填空題（每小題3分，本題共15分）</p><p>　　1．一階微分方程的通解的圖像是　　 2 　　維空間上的一族曲線．</p><p>　　2．二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是</p><p><

2、;b>　　．</b></p><p>　　3．方程的基本解組是 ．</p><p>　　4．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間．</p><p>　　5．方程的常數解是 ．</p><p>　　二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）

3、</p><p>　　6．方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（ ）．</p><p>　　（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面</p><p>　　7. 方程（ ）奇解．</p><p>　?。ˋ）有一個 （B）有兩個 （C）無 （

4、D）有無數個 </p><p>　　8．連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（ ）條件．</p><p>　　（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分</p><p>　　9．二階線性非齊次微分方程的所有解（ ）．</p><p>　?。ˋ）構成一個2維線性空間 （B）構成一個3

5、維線性空間</p><p>　?。–）不能構成一個線性空間 （D）構成一個無限維線性空間</p><p>　　10．方程過點(0, 0)有（ B?。?lt;/p><p>　　(A) 無數個解　　　　(B) 只有一個解 　(C) 只有兩個解　　　(D) 只有三個解</p><p>　　三、計算題（每小題６分，本題共30分）<

6、;/p><p>　　求下列方程的通解或通積分：</p><p><b>　　11. </b></p><p><b>　　12. </b></p><p><b>　　13. </b></p><p><b>　　14． </b><

7、;/p><p><b>　　15．</b></p><p>　　四、計算題（每小題10分，本題共20分）</p><p>　　16．求方程的通解．</p><p>　　17．求下列方程組的通解．</p><p>　　五、證明題（每小題10分，本題共20分）</p><p>　　

8、18．設在上連續(xù)，且，求證：方程</p><p><b>　　的一切解，均有．</b></p><p>　　19．在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴格單調函數．</p><p>　　常微分方程模擬試題參考答案 </p><p>　　一、填空題（每小題3分，

9、本題共15分）</p><p>　　1．2 2．線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）</p><p>　　3． 4．開 5． </p><p>　　二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）</p><p>　　6．D 7．C 8．B 9．C

10、 10．A</p><p>　　三、計算題（每小題６分，本題共30分）</p><p>　　11．解： 為常數解 （1分）</p><p>　　當，時，分離變量取不定積分，得</p><p><b>　?。?分）</b></

11、p><p><b>　　通積分為</b></p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　注：包含在常數解中，當時就是常數解，因此常數解可以不專門列出。</p><p>　　13．解： 方程兩端同乘以，得</p><p><b>　　（1分）<

12、/b></p><p>　　令 ，則，代入上式，得</p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　這是一階線形微分方程，對應一階線形齊次方程的通解為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　利用常數變易法可得到一階線形微分方

13、程的通解為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　因此原方程通解為</b></p><p><b>　　（6分）</b></p><p>　　14．解： 因為，所以原方程是全微分方程． （2分）</p&

14、gt;<p>　　取，原方程的通積分為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　計算得 </p><p><b>　　（6分）</b></p><p>　　15．解： 原方程是克萊洛方程，通解為 </p><p>&l

15、t;b>　?。?分）</b></p><p>　　四、計算題（每小題10分，本題共20分）</p><p>　　16．解： 對應齊次方程的特征方程為</p><p>　　， （1分）</p><p><b>　　特征根為</b

16、></p><p>　　，， （2分）</p><p>　　齊次方程的通解為 </p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為</p><p><b&

17、gt;　?。?分）</b></p><p>　　代入原方程，比較系數確定出</p><p>　　，， （9分） </p><p><b>　　原方程的通解為 </b></p><p><b>　　（10分）</b><

18、;/p><p>　　17．解： 齊次方程的特征方程為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　特征根為</b></p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　求得特征向量為</b

19、></p><p><b>　?。?分）</b></p><p>　　因此齊次方程的通解為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　令非齊次方程特解為</b></p><p><b>　?。?分）<

20、/b></p><p><b>　　滿足</b></p><p><b>　　（6分）</b></p><p><b>　　解得 </b></p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　

21、積分，得 </b></p><p>　　， （9分）</p><p><b>　　通解為</b></p><p><b>　?。?0分）</b></p><p>　　五、證明題（每小題10分，本題共20分）<

22、/p><p>　　18．證明： 設是方程任一解，滿足，該解的表達式為</p><p><b>　?。?分）</b></p><p><b>　　取極限</b></p><p>　　= （10分）</p><p>　　19．證明： 設，是方程的基本解組，則對任意，它們朗

23、斯基行列式在上有定義，且．又由劉維爾公式</p><p>　　， （5分）</p><p>　　由于，，于是對一切，有</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　故 是上的嚴格單調函數． （10分）<